Книга знакомит читателя с применением нового метода численного решения задач механики — так называемого метода граничных интегральных уравнений. Этот метод, которому в последние годы уделяется всё возрастающее внимание, позволяет эффективно решать при помощи ЭВМ сложные задачи, возникающие в инженерной практике. Он даёт возможность понижать размерность задач, что служит основным его преимуществом перед другими численными методами. Применение метода демонстрируется на решении плоских и пространственных задач гидродинамики, теории упругости, пластичности, механики разрушения, механики горных пород, нестационарной теории теплопроводности.

Книга представляет интерес для широкого круга механиков и инженеров, занимающихся решением прикладных задач, и будет полезной студентам и аспирантам, специализирующимся в области механики сплошных сред и прикладной математики.

Предлагаемый вниманию читателей сборник содержит материалы симпозиума, посвящённого применению метода граничных интегральных уравнений для решения задач механики сплошных сред. Симпозиум был организован Комитетом по численным методам в прикладной механике Американского общества инженеров-механиков и состоялся в июне 1975 г.

Суть метода состоит в сведении краевой задачи для дифференциальных уравнений к интегральному уравнению по границе области (или её части). Он является одним из классических методов исследования и решения краевых задач. В связи с успехами электронно-вычислительной техники появились возможности построения эффективных численных и численно-аналитических методов решения интегральных уравнений. Это привело к интенсивному развитию метода граничных интегральных уравнений, который наряду с конечно-разностными методами и методом конечных элементов успешно применяется в инженерной практике.

Сведение задачи к граничному интегральному уравнению позволяет на единицу понизить её размерность и тем самым даёт возможность при имеющихся вычислительных средствах рассматривать более сложные классы задач, чем те, которые можно решать иными методами. Это является безусловным преимуществом метода граничных интегральных уравнений перед конечно-разностными методами и методом конечных элементов.

Достоинством этого метода является также и то, что он позволяет сразу определить неизвестные величины на границе, не вычисляя их во всей области, как это требуется в других методах. Во многих задачах этим можно ограничиться; если же необходимо найти решение в произвольной внутренней точке области, то для этого достаточно выполнить интегрирование.

Материалы сборника показывают, что метод граничных интегральных уравнений может с успехом применяться для решения сложных инженерных задач — плоских и пространственных, стационарных и нестационарных. Рассматриваются задачи, возникающие в теории упругости и пластичности (при расчёте напряжённо-деформированного состояния конструкций), в механике разрушения (при оценке долговечности и работоспособности элементов конструкций, содержащих трещины и дефекты), в механике горных пород (при определении напряжённо-деформированного состояния в окрестности горных выработок и при изучении взаимодействия инструмента с породой), в гидродинамике (при анализе распространения волн в жидкости), в теории теплопроводности (при расчёте процессов распространения тепла в сплошных средах). В литературе имеются примеры применения метода и в других разделах механики и физики, например при расчёте обтекания тел потоком несжимаемой идеальной жидкости, при анализе взаимодействия частиц произвольной формы с потоком несжимаемой вязкой жидкости в приближении Стокса (что важно, в частности, в химической технологии), при расчётах фильтрационных течений жидкости в пористой среде, а также в разнообразных задачах геофизики, электродинамики и др.

Об уровне сложности задач, эффективно решаемых методом граничных интегральных уравнений, можно судить по приводимым в сборнике примерам, среди которых отметим расчёт напряжённо-деформированного состояния во фланце трубопровода ядерного реактора, определение концентрации напряжений в кубе с трещиной в форме эллипса (полуэллипса, выходящего на границу), упругопластическую задачу о трещине в брусе, задачу о набегании волн на препятствия в бассейне переменной глубины и т. д.

Несколько слов о стиле сборника. Статьи, входящие в него, представляют собой, по существу, небольшие и разные по степени подробности обзоры циклов работ по применению метода граничных интегральных уравнений в том или ином конкретном разделе механики. Каждую статью можно читать независимо от других. Этому способствует принятый в сборнике принцип построения статей. Сначала описывается способ вывода граничных интегральных уравнений применительно к выбранной области механики и рассматриваемому классу задач, затем излагается численный метод решения, приводятся результаты расчётов и, наконец, обсуждаются возможности обобщения предлагаемых схем и распространения их на другие классы задач. Большое внимание уделяется вопросам эффективности численной реализации описываемых алгоритмов и удобства составленных программ для потребителя, желающего их использовать при практических расчётах. Напротив, почти не рассматривается математическое обоснование применяемых численных методов. Эти вопросы ещё недостаточно изучены.

Следует отметить, что выдающийся вклад в развитие математической теории граничных интегральных уравнений и практических методов их решения, широко применяемых в механике сплошных сред и в инженерном деле, внесли советские учёные. (По вопросам, близким к затронутым в сборнике, см., например, [1-12] и указанную там литературу.)

В конце сборника помещено дополнение. В нём обсуждаются некоторые не нашедшие отражения в основном тексте аспекты практического применения рассматриваемого метода граничных интегральных уравнений [на примере задач гидродинамики несжимаемых идеальной и вязкой (в приближении Стокса) жидкостей и теории упругости] и рассматриваются численные методы решения, близкие к применяемым в сборнике (в частности, вариационные и вариационно-разностные методы)…

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Р. В. Гольдштейн

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2-е изд., Физматгиз, М., 1970
2. Гюнтер Н. М., Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики, Гостехиздат, М., 1953
3. Каландия А. И., Математические задачи двумерной упругости, Наука, М., 1973
4. Трёхмерные задачи магматической теории упругости и термоупругости (под ред. В. Д. Купрадзе), 2-е изд., Наука, М., 1976
5. Михлин С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Физматгиз. М., 1962
6. Михлин С. Г., Смолицкий X. М., Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, СМБ, Наука, М., 1965
7. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5-е изд., Наука. М., 1966
8. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., Наука, М., 1968
9. Никольский А. А., Серебрийский М. М., Сычев В. В., Аэродинамика установившегося обтекания тел при дозвуковых скоростях, Механика в СССР за 50 лет, т. 2., Наука, М., 1970, стр. 85-102
10. Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат, М., 1948
11 Степанов Г. Ю., Гидродинамическая теория решёток, Механика в СССР за 50 лег, т. 2, Наука, М., 1970, стр. 103-152
12. Шерман Д. И., Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости, Труды III Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, М., 1962

Книги на ту же тему

1. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, Михлин С. Г., Смолицкий Х. Л., 1965
2. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
3. Математические методы двумерной упругости, Каландия А. И., 1973
4. Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937
5. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
6. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. — 5-е изд., испр. и доп., Мусхелишвили Н. И., 1966
7. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, Литвинчук Г. С., 1977
8. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
9. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
10. Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
11. Интегральные уравнения, Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я., 1968
12. Метод сингулярных интегральных уравнений, Джураев А. Д., 1987
13. Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975