Сохранность книги — хорошая

DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
Band 119

THE THEORY OF BRANCHING PROCESSES
by
THEODORE E. HARRIS
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
THE RAND CORPORATION,
SANTA MONICA, CALIFORNIA

SPRINGER-VERLAG
1963

Пер. с англ. Б. А. Севастьянова и В. П. Чистякова

Формат 84x108 1/32

Монография Харриса посвящена важному разделу современной теории вероятностей — теории ветвящихся случайных процессов, т. е. теории процессов размножения и превращения частиц в предположении, что одни частицы превращаются в другие независимо друг от друга. Автор, внёсший сам большой вклад в развитие этой теории, отражает в своей книге обширную периодическую литературу теоретического и прикладного характера и рассматривает ряд моделей, описывающих реальные физические, химические и биологические процессы. Большая часть материала доступна читателям, знакомым лишь с обычным курсом теории вероятностей.

Книга представляет интерес как для математиков, занимающихся теорией случайных процессов, так и для научных работников других специальностей, в первую очередь физиков, химиков и биологов. Она будет полезна также аспирантам и студентам старших курсов университетов.

Около 90 лет назад Гальтон и Ватсон, рассматривая задачу об исчезновении фамилий, показали, как можно использовать теорию вероятностей при изучении случайных влияний на развитие семейств или популяций. Они построили математическую модель, которая в течение многих лет после появления их оригинальной работы не пользовалась известностью. В 20—30-х годах текущего столетия эта модель подвергалась изучению в отдельных статьях.

Последние 15—20 лет эта модель и её обобщения стали интенсивно изучаться; получены интересные математические результаты, которые позволяют построить теоретические основы изучения популяции таких объектов, как гены, нейтроны или космические лучи. Обобщения модели Гальтона-Ватсона, которые излагаются в этой книге, будем называть ветвящимися процессами; этот термин получил распространение после того, как его употребили в более узком смысле в своей статье А. Н. Колмогоров и Н. А. Дмитриев [1947] . Мы можем представлять себе ветвящийся процесс как математическую модель развития популяции, состоящей из частиц, которые размножаются и погибают по некоторым случайным законам. Частицы могут быть разных типов в зависимости от их возраста, энергии, положения или от других факторов. Однако они не должны взаимодействовать друг с другом. Это ограничение, позволяющее построить единую математическую теорию, по-видимому, справедливо для таких популяций физических частиц, как, например, нейтроны или космические лучи; однако биологические популяции подчиняются этим ограничениям в очень редких случаях.

В гл. I изучается первоначальная модель Гальтона и Ватсона, которая предназначалась для ответа на следующий вопрос. Пусть с вероятностями p₀, p₁, p₂ … отец имеет соответственно О, 1, 2, … сыновей, пусть с теми же вероятностями у каждого из сыновей будут свои сыновья и т. д. Какова вероятность того, что фамилия исчезнет, или, более общо, какова вероятность иметь заданное число мужских потомков в данном поколении? В гл. II рассматривается естественное обобщение этой модели, в котором частицы могут быть нескольких типов. В гл. III дано дальнейшее обобщение, в котором частицы характеризуются некоторыми непрерывными параметрами, например возрастом, энергией и т. д. Эта теория в гл. IV применяется к некоторым простым математическим моделям нейтронных цепных реакций. В гл. V рассматривается тот случай, когда развитие семейства в модели Гальтона и Ватсона прослеживается не по поколениям, а непрерывно во времени. В гл. VI даётся наиболее естественный способ описания развития популяций с учётом возраста частиц. И наконец, в гл. VII излагается математическая теория электронно-фотонного каскада, являющегося одной из составных частей космического излучения.

Хотя в этой книге основной упор делается на систематическое развитие математической теории, однако даются краткие сведения о наиболее важных применениях и указываются в общих чертах те допущения, которые мы при этом делаем. Математический уровень отдельных частей различен. Я считаю, что большая часть гл. I, II и V доступна каждому, кто знаком с цепями Маркова в объёме книги Феллера «Введение в теорию вероятностей и её применения» и непрерывными распределениями вероятностей в объёме книги Парзена (Parzen, «Modern Probability Theory»). Я думаю, что такой читатель сможет по крайней мере следить за основными результатами остальной части книги, для подробного изучения которой требуется знакомство с теорией вероятностей с точки зрения теории меры, как это делается в монографии А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей» [1936]; кроме того, требуются некоторые более новые результаты из монографий Дуба [1953] и Лоэва [1960]. Иногда в книге используется теория матриц, теория аналитических функций, а также теория интегралов Фурье и Лапласа…

Предисловие автора
Т. Харрис
Санта-Моника, Калифорния,
Июль 1963 г.

Предисловие к русскому изданию	5
Предисловие автора	7

Глава I. Ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона	11

1. Исторические замечания	11
2. Определение процесса Гальтона-Ватсона	14
2.1. Математическое описание процесса Гальтона-Ватсона	15
2.2. Производящие функции	16
3. Основные предположения	16
4. Производящая функция случайной величины Z_n	17
5. Моменты случайной величины Z_n	18
6. Вероятность вырождения	18
6.1. Неустойчивость Z_n	20
7. Примеры	22
7.1. Дробно-линейные производящие функции	22
7.2. Другой пример	23
7.3. Выживание семейства животных или генов	23
7.4. Электронные умножители	25
8. Асимптотические результаты при m > 1	25
8.1. Сходимость последовательности {Z_n/mⁿ}	26
8.2. Распределение случайной величины W	30
8.3. Асимптотическая формула для P{Z_n=0} 32
8.4. Локальные предельные теоремы при m > 1 1	33
8.5. Примеры	34
9. Асимптотические результаты при m < 1	34
10. Асимптотические результаты при m = 1	36
10.1. Вид итераций f_n при m = 1	36
10.2. Вероятность вырождения при больших n	39
10.3. Распределение случайной величины Z_n при больших n	39
10.4. Предшествующая история выжившего семейства при m = 1	40
11. Стационарность Z_n	41
11.1. Стационарные вероятности	41
11.2. Стационарные меры	42
11.3. Существование стационарной меры для процесса
Гальтона-Ватсона	43
11.4. Вопрос единственности	46
11.5. Асимптотика π_i при больших i в случае m = 1	47
11.6. Пример. Дробно-линейная производящая функция	49
12. Применение стационарных мер	50
13. Дальнейшие результаты, относящиеся к процессу Гальтона-Ватсона
и к связанным с ним задачам	53
13.1. Совместная производящая функция различных поколений	53
13.2. Распределение величин Z₀ + Z₁ + … + Z_n и Z = Z₀ + Z₁ + …	53
13.3. Время вырождения	54
13.4. Оценка параметров	55
13.5. Переменная производящая функция	55
13.6. Деревья и т. д.	55
13.7. Процессы просачивания	56

Глава II. Процессы с конечным числом типов частиц	58

1 Введение	58
2. Определение процесса Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц	59
3. Основные результаты о производящих функциях	60
4. Первые и вторые моменты. Основное предположение	61
5. Свойства положительности	62
6. Невозвратность ненулевых состояний	63
7. Вероятность вырождения	67
8. Числовой пример	70
9. Асимптотические результаты при больших n	71
9.1. Результаты при ρ < 1	71
9.2. Случай ρ= 1	72
9.3. Результаты при ρ > 1	72
10. Процессы, не являющиеся положительно регулярными	73
10.1. Общее число частиц различных типов	76
11. Пример из генетики	76
12. Замечания	79
12.1. Мартингалы	79
12.2. Процесс математических ожиданий	79
12.3. Дробно-линейные производящие функции	79

Глава III. Общие ветвящиеся процессы	80

1. Введение	80
2. Точечные распределения и функции множеств	81
2.1. Функции множеств	82
3. Вероятности точечного распределения	83
3.1. Рациональные интервалы, основные множества, цилиндрические
множества	87
3.2. Определение вероятностной меры на точечных распределениях	88
4. Случайные интегралы	88
5. Производящий функционал моментов	89
5.1. Свойства ПФМ случайного точечного распределения	91
5.2. Другая формулировка	94
6. Определение общих ветвящихся процессов	94
6.1. Определение переходной функции	95
6.2. Обозначения	96
7. Рекуррентное соотношение для производящего функционала моментов	97
8. Примеры	98
8.1. Нуклонный каскад и связанные с ним процессы	98
8.2. Одномерная нейтронная модель	100
9. Первые моменты	100
9.1. Математическое ожидание случайных интегралов	102
9.2. Первый момент величины Z_n	102
10. Существование собственных функций оператора M	103
10.1. Собственные функции и собственные значения	104
11. Невозвратность процесса Z_n	106
12. Случай ρ ≤ 1	109
12.1. Предельные теоремы при ρ ≤ 1	109
13. Вторые моменты	110
13.1. Математическое ожидание случайных двойных интегралов	111
13.2. Рекуррентное соотношение для вторых моментов	111
13.3. Асимптотика второго момента при ρ > 1	112
13.4. Плотности произведений второго порядка	112
14. Сходимость Z_n /ρⁿ при ρ > 1	113
15. Определение вероятности вырождения при ρ > 1	114
16. Другой вид предельной теоремы	115
17. Процессы с непрерывным временем	117
Приложение 1	118
Приложение 2	120
Приложение 3	120

Глава IV. Нейтронные ветвящиеся процессы (теория однотипных
нейтронов, изотропный случай)	124

1. Введение	124
2. Физическое описание	125
3. Математическое описание процесса	126
3.1. Вероятности превращения	127
3.2. Плотность столкновения	127
3.3. Определение ветвящегося процесса	128
4. Первый момент	129
5. Критичность	130
6. Флуктуации. Вероятность вырождения. Общее число частиц
в критическом случае	131
6.1. Числовой пример	132
6.2. Дальнейшее обсуждение примера	134
6.3. Общее число нейтронов процесса в ккритическом теле	135
7. Непрерывное время	135
7.1. Исследование с помощью интегрального уравнения	136
8. Другие методы	139
9. Принципы инвариантности	140
10. Одномерная модель размножения нейтронов	141

Глава V. Марковские ветвящиеся процессы (с непрерывным временем)	144

1. Введение	144
2, Марковские ветвящиеся процессы	145
3. Уравнения для вероятностей	148
3.1. Существование решений	149
3.2. Вопрос единственности	150
3.3. Лемма	151
4. Производящие функции	152
4.1. Условие равенства суммы вероятностей единице	153
5. Итерационные свойства функции F₁; вложенные процессы
Гальтона-Ватсона	154
5.1. Вложенные процессы Гальтона-Ватсона	155
5.2. Дробные итерации	156
6. Моменты	158
7. Пример: процесс рождения и гибели	159
8. Задача Юла	161
9. Однородные во времени процессы	162
10. Вероятность вырождения	164
11. Асимптотические результаты	165
11.1. Асимптотические результаты в случае h´(1) < 1	166
11.2. Асимптотические результаты в случае h´(1) = 1	167
11.3. Асимптотические результаты в случае h´(1) > 1	167
11.4. Обобщения	168
12. Стационарные меры	169
13. Примеры	170
13.1. Процессы рождения и гибели	170
13.2. Другой пример	171
13.3. Случай, когда F₁(1, t) < 1	171
14. Отдельные вероятности	172
15. Процессы с несколькими типами	173
15.1. Пример: многофазовый процесс рождения	174
15.2. Химические цепные реакции	175
16. Различные дополнения	176
16.1. Процесс рождения и гибели (обобщённый)	176
16.2. Диффузионная модель	177
16.3. Оценки параметров	178
16.4. Иммиграция	179
16.5. Непрерывное пространство состояний	179
16.6. Максимум функции Z(t)	180
Приложение 1	180
Приложение 2	183

Глава VI. Зависящие от возраста ветвящиеся процессы	185

1. Введение	185
2. Истории семейств	187
2.1. Обозначение частиц семейства	187
2.2. Описание семейства	188
2.3. Поколения	189
3. Число частиц в данный момент	190
4. Вероятностная мера P	192
5. Численности поколений	193
5.1. Эквивалентность событий {ζ_n > 0 при всех n}
и (Z(t) > 0 при всех t}; вероятность вырождения	194
6. Выражение величины Z(t, ω) в виде суммы частиц
из подсейместв	196
7. Интегральное уравнение для производящей функции	197
7.1. Частный случай	199
8. Точка восстановления	200
9. Построение и свойства функции F(s, t)	200
9.1. Другая последовательность, сходящаяся к решению
уравнения (7.3)	202
9.2. Поведение функции F(0, t)	203
9.3. Единственность	204
9.4. Другое свойство функции F	206
9.5. Вычисление вероятностей	206
10. Совместное распределение величин Z(t₁), Z(t₂), … Z(t_k)	206
11. Марковский характер процесса Z в экспоненциальном случае	207
12. Свойства случайных функций; невозрастающий характер
функции F(1, t)	209
13. Дальнейшие условия; конечность величин Z(t) и ℰZ(t)	211
14. Свойства выборочных функций	212
15. Интегральное уравнение для М(t) = ℰZ(t); монотонный характер
функции M	213
15.1. Монотонный характер функции M	215
16. Вычисление функции M	215
17. Асимптотическое поведение функции М; мальтусовский параметр	216
18. Вторые моменты	219
19. Сходимость величины Z(t)/n₁e^αt в среднем	221
20. Функциональное' уравнение для производящей функции моментов
величины W	223
21. Сходимость величины Z(t)/n₁e^αt с вероятностью 1	224
22. Распределение величины W	227
23. Применение к колониям бактерий	227
24. Распределение возрастов	229
24.1. Распределение средних по возрастам	231
24.2. Стационарность предельного распределения возраста	232
24.3. Величина воспроизводства	233
25. Сходимость фактического распределения возраста	234
26. Применение распределения возраста	236
26.1. Индекс митоза	237
26.2. Распределение жизненной доли	239
27. Зависящие от возраста ветвящиеся процессы как общие ветвящиеся
процессы	239
28. Обобщения математической модели	240
28.1. Вероятности превращения, зависящие от возраста	240
28.2. Корреляция между сестринскими клетками	240
28.3. Несколько типов	241
29. Зависящие от возраста процессы рождения и гибели	241
Приложение	244

Глава VII. Ветвящиеся процессы в теории космических лучей
(электронно-фотонные каскады)	250

1. Введение	250
2. Предположения, относящиеся к электронно-фотонным каскадам	253
2.1. Аппроксимация А	254
2.2. Аппроксимация Б	255
3. Математические предположения о функциях q и k	255
3.1. Числовые значения величин k, q и λ; единицы измерения	256
3.2. Сечения	257
4. Энергия одиночного электрона (аппроксимация А)	258
5. Явное представление ε(t) при помощи скачков	260
5.1. Другое выражение для ε(t)	264
6. Распределение функции X(t) = — logε(t) при малых t	265
7. Определение электронно-фотонного каскада и случайной величины
N(Е, t) (аппроксимация А)	269
7.1. Индексация частиц	270
7.2. История процесса	270
7.3. Вероятности в каскаде; определение пространства Ω	272
7.4. Определение функции N(Е, t)	273
8. Сохранение энергии (аппроксимация А)	273
9. Функциональные уравнения	276
9.1. Введение	276
9.2. Интегральное уравнение	278
9.3. Вывод основных уравнений (11.14) в случае μ = 0	279
10. Некоторые свойства производящих функций и первые моменты	280
11. Вывод функциональных уравнений для f₁ и f₂	283
11.1. Выделение фотонов, родившихся до момента Δ	284
11.2. Упрощение уравнения (11.1)	285
11.3. Предельный вид функции f₂(s, E, t + Δ) при Δ↓0	288
12. Моменты величины N(Е, t)	290
12.1. Первые моменты	290
12.2. Вторые моменты и моменты более высоких порядков	292
12.3. Вероятности	292
12.4. Единственность решения уравнений (11.14)	292
13. Процесс математических ожиданий	293
13.1. Вероятности процесса математических ожиданий	294
13.2. Описание процесса математических ожиданий	297
14. Распределение величин Z(t) при больших t	299
14.1. Числовые расчёты	300
15. Полная энергия электронов	302
15.1 Связь энергии с мартингалами	304
16. Предельные распределения	304
16.1. Случай, когда t → ∞, а значение E фиксировано	305
16.2. Предельные теоремы при t → ∞ и E → 0	306
17. Энергия электрона в случае (β > 0 (аппроксимация Б)	307
18. Электронно-фотонный каскад (аппроксимация Б)	310
Приложение 1	312
Приложение 2	314

Литература	318
Указатель	339

Книги на ту же тему

Конечные цепи Маркова, Кемени Д. Д., Снелл Д. Л., 1970
Теория просачивания для математиков, Кестен X., 1986
Вероятность, Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Д., 1969
Курс теории вероятностей. — 4-е изд., перераб., Гнеденко Б. В., 1965
Теория вероятностей, Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., 1969
Вероятность, Ламперти Д., 1973
Теория вероятностей. — 2-е изд., перераб. и доп., Вентцель Е. С., 1962
Введение в теорию вероятностей, Пугачёв В. С., 1968
Курс теории случайных процессов, Вентцель А. Д., 1975
Прикладные методы теории случайных функций. — 2-е изд., перераб. и доп., Свешников А. А., 1968
Теория вероятностей и некоторые её приложения, Хеннекен П. Л., Тортра А., 1974
Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решётках, Румянцев Г. Я., 1979
Лекции по теории переноса нейтронов. — 2-е изд., перераб. и дополн., Смелов В. В., 1978
Диффузия нейтронов в гетерогенных средах, Григорьев И. С., Новиков В. М., 1966
Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов, Новиков В. М., Шихов С. Б., 1982
Стохастическая теория переноса частиц высоких энергий, Учайкин В. В., Рыжов В. В., 1988
Электронные умножители, Чечик И. О., Файнштейн С. М., Лифшиц Т. М., 1954
Стохастическая радиобиология, Хуг О., Келлерер А., 1969
Теория цепных процессов, Акулов Н. С., 1951
Статистические процессы эволюционной теории, Моран П., 1973
Основы математической генетики, Свирежев Ю. М., Пасеков В. П., 1982
Генетика популяций, Хедрик Ф., 2003
Саморегулируемые волны химических реакций и биологических популяций, Жижин Г. В., 2004

elapsed time 0.019 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему