Систематически излагается общий функциональный подход к изучению обобщённых стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих многие важные теоретико-вероятностные модели с помощью обобщённых случайных функций. Изучаются граничные свойства обобщённых функции, даётся характеризация всех возможных граничных условий для общего (линейного) дифференциального оператора, устанавливается разрешимость общих граничных задач, даётся их точное и npиближённое решение. На этой основе находятся различные характеристики случайных полей, возникающих в предлагаемой общей теоретико-вероятностной модели, изучается их вероятностное поведение (например, устанавливается марковское свойство), рассматриваются различные задачи прогнозирования, задачи идентификации и оценки параметров самой модели по статистическим данным и др. От читателя предполагается знание основ функционального анализа и теории вероятностей.

Предисловие	5
Введение	7

Глава I. Обобщённые случайные функции и их реализации	18

§ 1. Некоторые вводные понятия	10
1° Обобщённые случайные функции (16). 2° Пространства типа W (20). 3° Пространства с воспроизводящим ядром (24). 4° Обобщённые случайные функции и стохастические интегралы (27).
§ 2. Пространства пробных обобщённых функций	32
1° Пробные пространства типа W (32). 2° Пробные пространства, связанные с операторами и L₂ (34). 3° Пробные пространства для дифференциальных операторов (37). 4° Преобразование Фурье пробных обобщённых функпий (41). 5° Положительные дифференциальные операторы (55). 6° Мультипликаторы и локализация пробных обобщённых функций (59).
§ 3. Реализация случайных обобщённых функции и некоторые теоремы вложения	65
1° Обобщённые функции и соболевские пространства (65). 2° Реализация случайных функций и некоторые теоремы вложения (66). 3° Гауссовские случайные функции (71). 4° Вложения Гильберта-Шмидта (72). 5° Случайные обобщённые функции и Соболевские пространства (76).
§ 4. Граничные значения обобщённых функций (случай соболевских пространств)	79
1° Некоторые характерные свойства Соболевских пространств (79). 2° След обобщённых функций и граничные значения (82). 3° Полнота системы граничных значений (92). 4° Некоторые функциональные свойства граничных значений (95).

Глава II. Дифференциальные уравнения для обобщённых случайных функции	99

§ 1. Обобщённые дифференциальные уравнения	99
1° Пробные функции для операторных уравнений (99). 2° Некоторые примеры (105).
§ 2. Граничные задачи	119
1° Общие граничные условия для обобщённых дифференциальных уравнении П19). 2° Стохастическое волновое уравнение (132). 3° Стохастические эллиптические и параболические уравнения (147).
§ 3. Однородные уравнения	159
1° Общий тип разрешимых граничных задач; точные и приближённые рещения (159). 2° Гладкость и продолжаемость решений; устранимые особенности (164). 3° Продолжаемость и предельное поведение решений (169).

Глава III. Случайные поля	177

§ 1. Вероятностные характеристики стохастических граничных задач	177
1° Среднее значение (177). 2° Корреляционная функция (178). 3° Характеристический функционал (184).
§ 2. Прогнозирование и марковское свойство	189
1° Задача о наилучшем прогнозе (189). 2° Наилучший прогноз и марковское свойство (198).

Глава IV. Гауссовские случайные поля	209

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения	209
1° Гауссовские величины и σ-алгебры событий (200). 2° Полиномы от гауссовских величин (212). 3° Одна теорема сравнения для квадратичных форм от гауссовских величин (216). 4° Отношение правдоподобия (218).
§ 2. Идентификация коэффициентов стохастических дифференциальных уравнений по реализации их решения	225
1° Условия эквивалентностии и взаимной сингулярности гауссовских распределений (223). 2° Идентификация коэффициентов (230). 3° Об оценках корреляционного оператора (237).
§ 3. Оценка осреднённых решений стохастических дифференциальных уравнений	240
1° Постановка задачи. Наилучшие несмещённые оценки (240). 2° Псевдонаилучшие оценки и метод наименьших квадратов; условие состоятельности (246).

Книги на ту же тему

Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрём Т., 1990
Вероятностно-статистические методы декомпозиции волатильности хаотических процессов, Королёв В. Ю., 2011
Прикладные методы теории случайных функций. — 2-е изд., перераб. и доп., Свешников А. А., 1968
Уравнения с частными производными и математические модели в экономике: Курс лекций. — 4-е изд., Ерофеенко В. Т., Козловская И. С., 2013
Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003
Анализ временных рядов, Хеннан Э., 1964
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — 2-е изд., доп., Володин Б. Г., Ганин М. П., Динер И. Я., Комаров Л. Б., Свешников А. А., Старобин К. Б., 1970

elapsed time 0.027 sec

/Наука и Техника

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему