В книге излагается теория линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Основы этой теории были заложены в конце сороковых — начале пятидесятых годов в работах Хилле, Иосида, Филлипса, Като и др. За последние 10—15 лет она превратилась в большую самостоятельную область исследования. Значительный вклад в её развитие был сделан советскими учёными.

В книге исследуются корректно поставленные задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и некоторые асимптотические и приближённые методы их решения. Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений в неё не включены.

Для понимания книги нужно знание основных положений теории операторов, которые изложены без доказательства во введении. Результаты теории сильно непрерывных полугрупп операторов, лежащие в основе всей книги, как правило, приводятся с полными доказательствами, причём в терминах, связанных с дифференциальными уравнениями.

Одной из движущих сил при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является теория уравнений с частными производными, дающая наиболее естественные примеры уравнений с неограниченными операторами. Такие примеры изложены в издании в иллюстративной форме в §8 гл. 1.

В книге иллюстраций 10, библ. назв. 269.

Предисловие	9

Введение	11

§ 1. Банахово пространство, функционалы	11

1. Банахово пространство (11). 2. Линейные функционалы (12).
3. Принцип равномерной ограниченности (13)

§ 2. Функции со значениями в банаховом пространстве	14

1. Непрерывность, дифференцируемость, аналитичность (14).
2. Интегрирование (16). 3. Интеграл Коши (18). 4. Преобразование
Лапласа (18)

§ 3. Ограниченные линейные операторы	19

1. Ограниченные операторы (19). 2. Операторы, зависящие
от параметра (21). 3. Алгебра операторов, действующих в одном
пространстве. Резольвента и спектр (24)

§ 4. Неограниченные операторы	27

1. Замкнутый оператор (27). 2. Резольвента, спектр (28).
3. Расщепление оператора (29). 4. Операторы с плотной областью
определения (30)

§ 5. Операторы в гильбертовом пространстве	31

1. Гильбертово пространство (31). 2. Ограниченные операторы (32).
3. Неограниченные операторы (33). 4. Спектральное разложение
самосопряжённого оператора (34)

Г л а в а I. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ
ОПЕРАТОРОМ. ПОЛУГРУППЫ	38

§ 1. Задача Коши	38

1. Постановка задачи Коши, корректность (38). 2. Преобразование
Лапласа, представление решений (42). 3. Построение решений задачи
Коши (47). 4. Производящий оператор сильно непрерывной
полугруппы (50). 5. Уравнение с параметром. Аналитичность
решений (51).

§ 2. Равномерно корректная задача Коши	58

1. Равномерная корректность, полугруппы класса С₀ (58).
2. Построение решений путем аппроксимации (64). 3. Единственность
и корректность (69). 4. Множества равномерной корректности.
Аналитичность (73)

§ 3. Ослабленная задача Коши	76

1. Постановка задачи (76). 2. Ослабленная задача Коши, корректная
на D(А) (78). 3. Единственность ослабленного решения (80).
4. Построение ослабленных решений, их свойства (83). 5. Абстрактное
параболическое уравнение (92). 6. Решения с запаздывающей
гладкостью. Аналитичность и квазианалитичность (96). 7. Задача Коши,
обратная к корректной (100)

§ 4. Уравнение в гильбертовом пространстве	104

1. Уравнение с отрицательно определённым самосопряжённым
оператором (104). 2. Уравнение со сжимающей полугруппой.
Диссипативные операторы. (106). 3. Уравнение с изометрической
полугруппой. Консервативные операторы (110). 4. Уравнения,
сводящиеся к уравнениям с диссипативными операторами (112).
5. Равномерно корректная задача Коши (115). 6. Аналитичность
решений (120). 7. Полуторалинейные формы и диссипативные
операторы (122), 8. Абстрактное гиперболическое уравнение (129)

§ 5. Дробные степени операторов	133

1. Неоднозначные функции от операторов (133). 2. Дробные степени
операторов (135). 3. Оценки дробных степеней (140). 4. Резольвента
дробной степени (143). 5. Полугруппы, построенные по дробным
степеням (147). 6. Возведение степени в степень (149). 7. Дробные
степени производящих операторов. (149). 8. Дробные степени
операторов с неограниченными обратными (151). 9. Дробные степени
операторов в гильбертовом пространстве (157)

§ 6. Неоднородное уравнение	1&8

1. Решение неоднородного уравнения (158). 2. Равномерно корректная
задача Коши (166). 3. Абстрактное параболическое уравнение (167).
4. Ослабленная задача Коши; полугруппа со слабой особенностью (170)

§ 7. Уравнения с возмущёнными операторами	175

1. Сравнение операторов (175). 2. Резольвенты возмущенных
операторов (182). 3. Сравнение полугрупп (186). 4. Сравнение дробных
степеней операторов (189). 5. Операторы с различными областями
определения (190)

§ 8. Примеры	194

1. Задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными
коэффициентами (194). 2. Задача Коши в пространствах
с дифференциальной L₂-нормой (201). 3. Краевые задачи для
параболических систем (206). 4. Симметрические гиперболические
системы (210). 5. Уравнение Шредингера (212). 6. Уравнения
с запаздывающим аргументом (213)

Г л а в а II. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ПЕРЕМЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ	216

§ 1. Неограниченные операторы, зависящие от параметра	216

1. Операторы с постоянной областью определения, сильно непрерывные
на ней (216). 2. Аппроксимация ограниченными операторами (217).
3. Оператор, сильно непрерывно дифференцируемый на D(A) (218).
4. Дробные степени оператора, зависящего от параметра (222).
5. Дробные степени самосопряжённого оператора, зависящего
от параметра (228)

§ 2. Уравнение с ограниченным оператором	231

1. Эволюционный оператор (231). 2. Сравнение эволюционных
операторов (233)

§ 3. Равномерно корректная задача Коши	237

1. Задача Коши; эволюционный оператор (237). 2. Неоднородное
уравнение (240). 3. Возмущённое уравнение (243). 4. Устойчивая
аппроксимация эволюционного оператора (244). 5. Возмущённое
уравнение и повышение гладкости решений (248). 6. Уравнение
с производящим оператором сжимающей полугруппы (249)

§ 4. Ослабленная задача Коши	256

1. Ослабленная задача Коши, корректная на D(А) (256). 2. Ядра
со слабой особенностью (258). 3. Интегральное уравнение для
эволюционного оператора (260). 4. Оператор V(t, s) (263).
5. Дифференцируемость оператора U(t, s) на D(А) (264).
6. Параболичность (266). 7. Единственность; корректность (268).
8. Свойства решений уравнения с «замороженным» коэффициентом (270).
9. Абстрактное пара болическое уравнение (275)

§ 5. Абстрактное параболическое уравнение с оператором,
имеющим переменную область определения	278

1. Постановка задачи (278). 2. Свойства решений уравнения
с «замороженным» коэффициентом (280). 3. Построение эволюционного
оператора (282). 4. Свойства оператора U(t, s) как функции
от s (287). 5. Неоднородное уравнение (289)

Г л а в а III. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	291

§ 1. Гиперболический случай. Задача Коши	291

1. Уравнение с постоянным оператором (291). 2. Возмущённое
уравнение (296). 3. Неоднородное уравнение (299). 4. Уравнение
с переменным оператором (301). 5. Уравнение в гильбертовом
пространстве (303)

§ 2. Эллиптический случай. Граничные задачи	304

1. Общее решение однородного уравнения (305). 2. Краевая
задача (308). 3. Однородная краевая задача (310). 4. Сопряжённая
краевая задача (311}. 5. Равномерно корректные краевые задачи.
Регулярные краевые условия (316). 6. Некорректные краевые
задачи (319). 7. Случай вполне непрерывного оператора A^—1 (321).
8. Ограниченные на бесконечности решения (322). 9. Неоднородное
уравнение (324)

§ 3. Задача Коши для полного уравнения второго порядка	330

1. Полное уравнение второго порядка (330). 2. Сведение к системе
уравнений первого порядка (331). 3. Равномерно корректная задача
Коши (334). 4. Абстрактное параболическое уравнение (337).
5. Ослабленная задача Коши (342)

Г л а в а IV. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	345

§ 1. Уравнения с малым параметром при старшей производной	345

1. Уравнение с постоянным оператором (345). 2. Уравнение
с переменным оператором (349). 3. Пограничный слой (353).
4. Возмущённое уравнение (355). 5. Уравнение второго порядка (359).
6. Однородное уравнение с малым возмущением (362)

§ 2. Эволюция подпространств в банаховом пространстве	364

1. Постановка задачи (364). 2. Конструкция оператора,
осуществляющего эволюцию подпространства (365). 3. Свойства
оператора Q(t, τ) (369). 4. Оператор, осуществляющий эволюцию
прямого разложения (371). 5. Гильбертово пространство (373).
6. Эволюция инвариантных подпространств (374)

§ 3. Расщепление уравнения на уравнения в подпространствах	377

1. Решения уравнения в подпространстве (377). 2. Эволюционный
оператор, следящий за прямым разложением (378). 3. Расщепление
эволюционного оператора (381). 4, Уравнение с малым параметром
при производной (384). 5. Приближения высших порядков (390).
6. Уравнение с малым возмущением. Общие асимптотические
разложения (393). 7. Неоднородное уравнение (397)

Г л а в а V. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ	405

§ 1. Фактор-метод решения операторных уравнений	405

1. Фактор-пространство (405). 2. Последовательности
фактор-пространств, фактор-сходимость (405). 3. Видоизменение
принципа равномерной ограниченности (407). 4. Основные понятия
фактор-метода (410). 5. Сходимость и устойчивость
фактор-метода (411). 6. Сходимость фактор-метода и разрешимость
уравнения (413)

§ 2. Конечно-разностный фактор-метод для эволюционных уравнений	413

1. Описание метода (413). 2. Устойчивость фактор-метода (417).
3. Аппроксимация и сходимость (419). 4. Частный случай, неявная
схема (424). 5. Гладкие решения, улучшенная сходимость (427).
6. Улучшенная сходимость, переменный оператор (429). 7. Пример:
уравнение в частных производных параболического типа (433)

Замечания и литературные указания	438
Библиография	450

Книги на ту же тему

Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
Групповой анализ дифференциальных уравнений, Овсянников Л. В., 1978
Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля, Владимиров С. А., 1979
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Ильин А. М., 1989
Основы теории групп, Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., 1972
Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962

elapsed time 0.039 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему