В методах граничных элементов задача сводится к решению дискретного аналога граничного интегрального уравнения. Книга известных специалистов П. К. Бенерджи (США) и Р. Баттерфилда (Англия) содержит систематическое и замкнутое изложение этих методов, ориентированное на непосредственных пользователей — инженеров. Методы применяются к решению задач гидродинамики, теории упругости и пластичности, теории фильтрации, механики разрушения и т.д. и сопоставляются с другими численными методами.

Для математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров, аспирантов и студентов вузов.

«Методы граничных элементов» (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР), применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или её части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой траничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам.

Методам ГИУ посвящён сборник [Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. Ред. Т. Круз, Ф. Риццо. — М.: Мир, 1979]; там же в дополнении рассмотрены и некоторые возможности применения вариационных методов для понижения размерности краевых задач и их последующего численного решения, а также даны ссылки на работы советских учёных в рассматриваемой области. Сборник был призван в первую очередь стимулировать интерес инженеров, механиков и физиков к этим методам.

Цель предлагаемой книги иная — научить непосредственных пользователей применять методы граничных элементов на практике. Поэтому в ней дано последовательное замкнутое изложение всех аспектов МГЭ, связанных именно с применением к решению задач механики, физики и техники. Намеренно не затрагиваются вопросы обоснования численных алгоритмов, зато детально излагается физическая интуитивная основа МГЭ, подчёркивается близость этих методов традиционным представлениям об инженерном подходе к решению задач (в этом смысле МГЭ так же близки инженеру, как, скажем, МКЭ) и подробно описывается техника их реализации на ЭВМ.

Привлекательная особенность книги состоит в том, что она суммирует опыт применения МГЭ в самых разных разделах механики, физики и инженерного дела с учётом новых результатов, полученных самими авторами и другими учёными. С этой точки зрения книга удачно сочетает черты учебника и научной монографии.

Содержание и структура книги ясны из подробного оглавления; обратим внимание лишь на несколько моментов.

1. В книге систематически рассматриваются МГЭ трёх типов: прямые (составляется и решается ГИУ относительно функций, имеющих смысл в содержательной постановке исходной задачи); непрямые (строится решение ГИУ, записанного для вспомогательных функций (плотностей распределения), по которым неизвестные исходной задачи находятся интегрированием); полупрямые (задача сводится к ГИУ относительно некоторых вспомогательных функций, например относительно функции напряжений в теории упругости или функции тока в гидродинамике). Разбираются особенности методов каждой группы и приводятся результаты их применения к решению одних и тех же задач, что позволяет судить о преимуществах и недостатках указанных методов применительно к разным классам задач.

2. Изложение ведётся параллельно — для механики жидкостей и газов и для механики деформируемого твёрдого тела. Построение соответствующих глав однотипно: после изложения путей вывода ГИУ рассматриваются способы дискретизации и описания границы, способы восполнения искомых функций, приёмы вычисления интегралов, входящих в ГИУ и в формулы, позволяющие находить по решению ГИУ поля внутри области, а также приводятся многочисленные примеры решения конкретных задач.

3. Некоторые важные методические вопросы рассматриваются в специальных главах; например гл. 7 посвящена особенностям алгоритмов МГЭ для областей с нерегулярной границей, а в гл. 8 подробно анализируются возможности описания геометрии граничных элементов и изменения в их пределах искомых функций. В этих и других главах книги авторы показывают, что при разработке алгоритмов МГЭ в ряде случаев можно использовать технику других методов, и в частности методов конечных элементов.

4. Особое внимание уделяется алгоритмам МГЭ для решения нестационарных задач. Анализируются два пути, позволяющие свести нестационарную задачу к статической задаче с параметром: один связан с преобразованием Лапласа, другой — с реализацией процедуры расчёта шагами по времени. Алгоритмы второго типа более универсальны и эффективны.

5. Специально рассматриваются возможности МГЭ в нелинейных задачах трёх видов: (а) часть границы, на которой реализуется то или иное краевое условие, не известна заранее; (б) имеется внешнее воздействие, интенсивность которого зависит от текущих значений неизвестных функций, т. е. нелинейны правые части дифференциальных уравнений; (в) нелинейны определяющие соотношения среды.

Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в применении итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем строится решение линейной задачи для фиксированной области, находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется. Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен (особенно в трёхмерных задачах) лишь при применении специальных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с этим стоит обратить внимание на другую возможность решения задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу можно привести к вариационной задаче минимизации функционала по границе (или по её части) с ограничениями в форме равенств и неравенств или к решению вариационного неравенства [Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980]. В свою очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам математического программирования, численные методы решения которых хорошо разработаны (см., например, [Федоренко Р. П. Приближённое решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978]). В качестве примеров применения такого подхода укажем работы [Федоренко Р. П. Метод численного решения пространственных задач качения с проскальзыванием и сцеплением. — Препринт № 158 ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша, М., 1979; Гольдштейн Р. В., Вазовский А. Ф., Спектор А. А., Федоренко Р. П. Решение пространственных контактных задач качения с проскальзыванием и сцеплением вариационным методом. — Препринт № 134 Ин-та проблем механики АН СССР, М., 1979].

Нелинейные задачи типа (б) и (в) отличаются тем, что соответствующие им интегральные уравнения нельзя сделать полностью граничными: эти уравнения содержат члены, в которые неизвестные функции входят под знаком интеграла по всей области. В книге подробно исследуются нелинейные задачи упруговязкопластичности (задачи типа (в)) и рассматриваются различные итерационные алгоритмы, для которых характерно сведение исходной нелинейной задачи на каждом шаге к линейной задаче с некоторым специальным распределением объёмных сил. Авторы приходят к выводу о том, что в нелинейных задачах предпочтение следует отдавать прямым МГЭ.

6. В книге систематически проводится сравнение эффективности МГЭ и других численных методов, в первую очередь МКЭ и МКР. Для пользователей важно, что во многих случаях (которые указаны в книге) уже существующие программы МГЭ оказываются более эффективными, чем программы МКЭ и МКР. Анализ преимуществ и недостатков обеих групп методов применительно к разным классам задач наводит на мысль о целесообразности разработки комбинированных численных методов (гл. 14), которым сейчас уделяется большое внимание. Симптоматично, что энтузиастом исследований в этом направлении является один из ведущих специалистов по методам конечных элементов — профессор О. Зенкевич. В частности, им и его коллегами успешно применяются некоторые (нашедшие отражение и в гл. 14) вариационные способы получения соотношений МГЭ, приводящие при комбинировании МГЭ и МКЭ к системам линейных алгебраических уравнений с симметричными матрицами.

Из сказанного видно, что предлагаемая книга поможет тем, кто занимается (или хочет заняться) решением на ЭВМ исследовательских и технических задач, практически освоить методы граничных элементов; она послужит стимулом к дальнейшему совершенствованию и внедрению этих методов…

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Р. В. Гольдштейн

Книги на ту же тему

1. Методы граничных элементов в механике твёрдого тела, Крауч С., Старфилд А., 1987
2. Применение метода граничных элементов в технике, Бреббия К., Уокер С., 1982
3. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Митчелл Э., Уэйт Р., 1981
4. Метод конечных элементов в механике разрушения, Морозов Е. М., Никишков Г. П., 1980
5. Метод конечных элементов для эллиптических задач, Сьярле Ф., 1980
6. Введение в метод конечных элементов, Норри Д., де Фриз Ж., 1981
7. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
8. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
9. Интегральные уравнения, Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я., 1968
10. Лекции по теории интегральных уравнений. — 3-е изд., исправл., Петровский И. Г., 1965
11. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
12. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: Справочное руководство. — 2-е изд., перераб., Цлаф Л. Я., 1970
13. Интегральные уравнения (Введение в теорию), Краснов М. Л., 1975
14. Интегральные уравнения в теории упругости, Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., 1994
15. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, Нобл Б., 1962
16. Разностные схемы газовой динамики, Самарский А. А., Попов Ю. П., 1975
17. Устойчивость разностных схем, Самарский А. А., Гулин А. В., 1973
18. Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
19. Численные методы для научных работников и инженеров, Хемминг Р. В., 1968
20. Численные методы для научных работников и инженеров. — 2-е изд., испр., Хемминг Р. В., 1972
21. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач, На Ц., 1982