Книга американских специалистов посвящена теории бифуркаций, которую советские читатели связывают с именами А. М. Ляпунова и А. А. Андронова и которая в последние годы находит широкое поле приложений. Эта теория изучает резкие скачкообразные переходы при потерях устойчивости движения; она интересна как с чисто математической стороны, так и в связи с самыми разнообразными применениями. В книге рассматриваются основы теории бифуркаций и её применения к решению уравнений с частными производными, гидродинамике, биологическим моделям и другим конкретным задачам.

Рассчитана на математиков-прикладников, физиков-теоретиков и инженеров-исследователей.

Главным сюжетом этой книги является бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса конечномерной динамической системы. В своём предисловии к английскому изданию авторы отмечают, что эту бифуркацию следовало бы называть «бифуркацией Пуанкаре-Андронова-Хопфа», но они остановились на названии «бифуркации Хопфа», считая его более распространённым. У нас в стране указанной бифуркации посвящено довольно много работ и она связывается в первую очередь с именами Ляпунова и Андронова. Поэтому, с любезного согласия авторов, русское издание этой книги было решено назвать иначе.

С именем А. Пуанкаре (1854—1912 гг.) связано открытие предельных циклов. Ему принадлежит метод разыскания предельных циклов, близких к кривым линейной консервативной системы. А. М. Ляпунов в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.) дал метод исследования устойчивости (в смысле Ляпунова) сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями и ввёл величины, получившие впоследствии название «ляпуновских». Заслуга открытия бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы и обнаружение связи этой бифуркации с ляпуновскими величинами принадлежит А. А. Андронову.

Ещё в своем докладе «Математические проблемы автоколебаний», прочитанном на Всесоюзной конференции по колебаниям в 1931 году и опубликованном в книге «I Всесоюзная конференция по колебаниям» (М.—Л., ГТТИ, 1933 г.), А. А. Андронов, не выписывая формул, рассказал о бифуркации рождения предельного цикла из фокуса на плоскости, а также стягивания предельного цикла в фокус, в связи с адекватным математическим описанием мягкого возникновения автоколебаний в ламповом генераторе [в том же докладе А. А. Андронов рассмотрел бифуркацию, связанную с исчезновением двукратного предельного, цикла и с разделением. дву> кратного цикла на два простых]. В первом издании «Теории колебаний» А. А. Андронова и С. Э. Хайкина (1937 г.) бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса на плоскости изложена уже с математическим доказательством и рассмотрены примеры. Там же приведены рекуррентные дифференциальные уравнения, из которых находятся ляпуновские величины. В дальнейшем сотрудниками А. А. Андронова эта бифуркация рассматривалась в целом ряде работ при исследовании динамических систем из приложений. Она рассматривалась как для систем второго порядка, так и для систем порядка большего двух.

Но хотя всё, что связано с бифуркацией появления периодического решения из состояния равновесия с двумя мнимыми корнями в случаях динамических систем второго, третьего и четвёртого порядка, в работах советских авторов продвинуто значительно дальше, чем в предлагаемой книге, тем не менее она представляет несомненный интерес.

Прежде всего, метод, использованный Хопфом (несколько отличный от использованного А. А. Андроновым), может оказаться полезным для решения ряда других задач (см., например, главу ЗС настоящей книги, а также статью А. А. Пяртли, на которую ссылаются авторы). Кроме того, термин «бифуркация Хопфа» авторы понимают в весьма расширенном смысле и, в частности, тем же термином пользуются при рассмотрении рождения замкнутой инвариантной кривой из неподвижной точки, имеющей собственные значения e^±iφ. Этот материал на русском языке освещён лишь в журнальной литературе. Часть материала книги имеет чисто математический характер (гл. 4С посвящена методу усреднения, гл. 6А — канонической форме диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки с собственными числами e^±iφ, часть гл. 7 посвящена группам Ли, гл. 8А — нелинейным группам и полугруппам). Но главный интерес книги заключается в применении теории к уравнениям в частных производных и особенно — к задачам гидродинамики. Это применение существенно опирается на теорему о центральном многообразии, изложенную в гл. 2.

Несмотря на несколько эскизный характер изложения, всё, касающееся этих задач, содержит много нового и отсутствует в монографиях. Отметим, в частности, пример с течением Куэтта, обсуждение концепции Рюэля и Такенса возникновения турбулентности, изложение (сделанное Чайльдсом) оригинальной работы Иосса, в которой рассматривается возникновение периодического течения из стационарного в некоторых задачах динамики жидкости. Представляет интерес сделанное Руизом изложение работ Кирхгесснера и Килхёффера, в которых рассматриваются модели Тейлора и Бенара течения жидкости и бифуркации в них.

Последние три главы книги не имеют прямого отношения к бифуркации рождения цикла. Они написаны известными американскими математиками (Смейлом и другими) и также содержат много интересного.

Таким образом, хотя часть материала предлагаемой книги имеется в ряде советских изданий и хотя некоторые её главы написаны очень бегло, эта книга, особенно в части приложений теории к самым разным задачам, представляет живой интерес. Мы надеемся, что её русское издание привлечёт внимание читателей к поискам новых приложений этой классической теории.

В конце книги помещены три дополнения, которые, как нам кажется, будут полезны читателям: «Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости состояний равновесия и периодических движений» (Н. Н. Баутин и Л. П. Шильников), «Теория бифуркаций и модель Лоренца» (Л. П. Шильников), «Комментарии к теореме Хопфа» (Е. А. Леонтович).

В заключение мы хотим поблагодарить авторов, особенно проф. Дж. Марсдена, за проявленное ими внимание к подготовке русского издания их книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

Книги на ту же тему

1. Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
2. Синергетика: Сборник статей, Рязанов А. И., Суханов А. Д., сост., 1984
3. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, Суинни Х., Голлаб Д., ред., 1984
4. Парадоксы мира нестационарных структур, Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., 1985
5. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса, Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., 1988
6. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии, Свирежев Ю. М., 1987
7. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде, Юэн Г., Лэйк Б., 1987
8. Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение, 2007
9. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур, 1996
10. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие, Малинецкий Г. Г., Курдюмов С. П., ред., 2002
11. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, Занг В.-Б., 1999
12. Хаос и порядок на рынках капитала: Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка, Петерс Э., 2000
13. От часов к хаосу: Ритмы жизни, Гласс Л., Мэки М., 1991
14. Фракталы и хаос в динамических системах, Кроновер Р., 2006
15. Линейные и нелинейные волны, Уизем Д., 1977
16. Известия высших учебных заведений. Радиофизика: Нелинейные волны, 1976
17. Нелинейные колебания в механических и электрических системах, Стокер Д., 1952
18. Численный эксперимент в турбулентности: От порядка к хаосу, Белоцерковский О. М., Опарин А. М., 2001
19. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание, Климов Д. М., Петров А. Г., Георгиевский Д. В., 2005
20. Нелинейная динамика поверхностных вод суши, Найденов В. И., 2004
21. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
22. Исследование устойчивости сложных механических систем, Ишлинский А. Ю., Стороженко В. А., Темченко М. Е., 2002
23. Уравнение Кармана, Сьярле Ф., Рабье П., 1983
24. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — 2-е изд., Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., 1977