Книга посвящена изложению основ теории групп — одного из важнейших разделов современной алгебры. Помимо традиционного материала, относящегося к собственно основам теории групп, излагаются некоторые последние достижения в этой области, ещё не получившие отражения в монографической литературе. Большое внимание уделяется примерам и упражнениям, разъясняющим основные понятия и результаты. Книга рассчитана на студентов и аспирантов университетов и пединститутов.

Таблиц 3. Иллюстраций 3. Библиографий 51

Эта книга — записки лекций по теории групп, читанных авторами в Новосибирском университете в 1968—1970 гг. Мы хотели изложить именно основы теории групп, не вдаваясь в детали и обходя трясину обобщений (впрочем, некоторые обобщения всё же рассматриваются — см. последние параграфы глав 6 и 7). Надеемся, что студент, желающий заниматься теорией групп и познакомившийся по этим запискам с её основами, сможет быстро перейти к чтению специальной литературы по избранному вопросу.

Мы старались не переступать границу между абстрактной и схоластической теорией групп, по возможности поясняя высокие понятия простыми примерами. Четыре типа примеров сопровождают изложение: числа по сложению, числа по умножению, подстановки и матрицы. Для понимания основного текста достаточно знания общего курса алгебры, в примерах иногда используются более специальные сведения. Примеры и упражнения частично используются в основном тексте, поэтому их формулировки не следует пропускать при чтении, а решение откладывать слишком надолго. Часть этих упражнений приводится с решениями. В названиях понятий мы руководствовались принципом разумного минимума корневых слов, что вызвало небольшие отклонения от господствующей терминологии — они всякий раз указаны в тексте.

Список литературы содержит только обзоры и монографии по теории групп. Немногочисленные ссылки на журнальные статьи даются непосредственно в тексте и, в общем, довольно случайны (полная библиография по теории групп насчитывает несколько тысяч названий).

В нескольких местах отмечаются нерешённые вопросы. Достаточно полное собрание таких вопросов, отражающее интересы широкого круга специалистов по теории групп, можно найти в последнем издании «Коуровской тетради».

Первый вариант этой книжки был опубликован в выпусках 3, 4 ротапринтной серии «Библиотека кафедры алгебры и математической логики НГУ». Мы сердечно благодарим всех, кто сообщил надо свои замечания, а особенно Ю. Е. Вапнэ, В. Д. Мазурова, В. Н. Ремесленникова, Н. С. Романовского, А. И. Старостина, С. Н. Черникова и В. А. Чуркина.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Авторы
Новосибирск, Академгородок,
3 февраля 1971 г.

Предисловие	5
Введение	7

Г л а в а 1. Определение и важнейшие части группы	14

§ 1. Определение группы	14
1. Аксиоматика. Изоморфизм (14). 2. Примеры (16).
§ 2. Подгруппы. Нормальные подгруппы	21
1. Подгруппы (21). 2. Порождающие множества (23). 3. Циклические
подгруппы (27). 4. Смежные классы (28). 5. Классы сопряжённых
элементов (30).
§ 3. Центр. Коммутант	34
1. Центр (34). 2. Коммутант (36).

Г л а в а 2. Гомоморфизмы	41

§ 1. Гомоморфизмы и факторы	41
1. Определения (41). 2. Теоремы о гомоморфизмах (44).
3. Поддекартовы произведения (47). 4. Субнормальные ряды (51).
§ 2. Эндоморфизмы. Автоморфизмы	55
1. Определения (55). 2. Допустимые подгруппы (60).
3. Совершенные группы (62).
§ 3. Расширения посредством автоморфизмов	65
1. Голоморф (65). 2. Сплетения (67).

Г л а в а 3. Абелевы группы	71

§ 1. Свободные абелевы группы. Ранг	71
1. Свободные абелевы группы (71). 2. Ранг абелевой группы (74).
§ 2. Конечно порождённые абелевы группы	76
§ 3. Полные абелевы группы	79
§ 4. Периодические абелевы группы	83

Г л а в а 4. Конечные группы	89

§ 1. Максимальные p-подгруппы	89
1. Теорема Силова (89). 2. Применение к группам порядка рq (92).
3. Примеры максимальных р-подгрупп (93).
§ 2. Простые конечные группы	96
1. Знакопеременные группы (97). 2. Проективные специальные
линейные группы (100).
§ 3. Группы подстановок	106
1. Регулярное представление (107). 2. Представления
подстановками смежных классов (109). 3. Транзитивность.
Примитивность (112).

Г л а в а 5. Свободные группы и многообразия	116

§ 1. Свободные группы	116
1. Определение (116). 2. Матричное представление (120).
3. Подгруппы (122). 4. Ряды централов и коммутантов (126).
§ 2. Многообразия	128
1. Тождества и многообразия (129). 2. Другой подход к
многообразиям (132).

Г л а в а 6. Нильпотентные группы	135

§ 1. Общие свойства и примеры	136
1. Определение (136). 2. Общие свойства (140). 3. Нильпотентные
группы автоморфизмов (144).
§ 2. Важнейшие подклассы	146
1. Конечные нильпотентные группы (146). 2. Конечно порождённые
нильпотентные группы (150). 3. Нильпотентные группы без
кручения (157).
§ 3. Обобщения нильпотентности	161
1. Локальная нильпотентность (161). 2. Нормализаторное условие
(164). 3. Энгелевость (166).

Г л а в а 7. Разрешимые группы	170

§ 1. Общие свойства и примеры	170
1. Определения (170). 2. Разрешимые группы с условием
максимальности (172). 3. Разрешимые группы с условием
минимальности (174).
§ 2. Конечные разрешимые группы	176
1. Холловы и картеровы подгруппы (177). 2. О полной приводимости
представлений (181). 3. Критерий сверхразрешимости (186).
§ 3. Разрешимые группы матриц	189
1. Почти триангулируемость (190). 2. Полицикличность разрешимых
групп из GL(n, Z) (194). 3. Вложение полициклических групп в
GL(n, Z) (196).
§ 4. Обобщения разрешимости	201
1. Классы Куроша-Черникова (201). 2. Примеры (203). 3. Локальная
теорема (207).

Д о п о л н е н и е. Вспомогательные сведения из алгебры,
логики и теории чисел	212

§ 1. О нильпотентных алгебрах	212
1. Нильпотентность ассоциативных и лиевых алгебр (212).
2. Ненильпотентные нильалгебры (215).
§ 2. Локальные теоремы логики	220
1. Алгебраические системы (220). 2. Язык исчисления предикатов
(221). 3. Локальные теоремы (222).
§ 3. О целых алгебраических числах	225

Литература	230
Предметный указатель	233
Указатель обозначений «классических» объектов	240

Книги на ту же тему

Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип., Кострикин А. И., 2001
Истина и красота: Всемирная история симметрии, Стюарт И., 2012
Преобразования и перестановки, Калужнин Л. А., Сущанский В. И., 1979
Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, Клейн Ф., 1989
Группы и их графы, Гроссман И., Магнус В., 1971
Элементарное введение в абстрактную алгебру, Фрид Э., 1979
Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. — 2-е изд., исправл., Кострикин А. И., 2001
Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
Алгебра, Ленг С., 1968
Элементы теории структур, Скорняков Л. А., 1970
Линейно упорядоченные группы, Кокорин А. И., Копытов В. М., 1972
Пространственная симметрия и оптические свойства твёрдых тел (комплект из 2 книг), Бирман Д., 1978
Теория групп и её применение к физическим проблемам, Багавантам С., Венкатарайуду Т., 1959
Применение теории групп в квантовой механике, Петрашень М. И., Трифонов Е. Д., 1967
Теория групп в физике твёрдого тела, Штрайтвольф Г., 1971
Алгебраические методы в теории ядра, Ванагас В., 1971
Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Олвер П., 1989
Основы теории чисел. — 7-е изд., исправл., Виноградов И. М., 1965
Математика и логика: ретроспектива и перспективы, Кац М., Улам С. М., 1971
Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
Теория спиноров и её применения, Желнорович В. А., 2001
Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Вып. 8, Станюкович К. П., ред., 1977
Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
Геометрическая теория инвариантов, Дьёдонне Ж., Керрол Д., Мамфорд Д., 1974
Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Крейн С. Г., 1967

elapsed time 0.021 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему