Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.

Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержащийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.

Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использующийся в нём. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств, расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре.

В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений и параметров, а также о дифференцируемости решений по этим величинам. Сделаны также многие более мелкие исправления…

ОТ АВТОРА
Л. С. Понтрягин

От автора	5

Г л а в а п е р в а я. Введение	7

§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка	7
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования	13
§ 3. Формулировка теоремы существования и единственности	21
§ 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной	25
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения	32
§ 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях	38

Г л а в а в т о р а я. Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами	41

§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
(случай простых корней)	42
§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
(случай кратных корней)	50
§ 9. Устойчивые многочлены	56
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами	62
§ 11. Метод исключения	67
§ 12. Метод комплексных амплитуд	75
§ 13. Электрические цепи	80
§ 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными
коэффициентами	93
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые
пространства	103
§ 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными
коэффициентами	115

Г л а в а т р е т ь я. Линейные уравнения с переменными
коэффициентами	128

§ 17. Нормальная система линейных уравнений	128
§ 18. Линейное уравнение n-го порядка	139
§ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими
коэффициентами	146

Г л а в а ч е т в ё р т а я. Теоремы существования	152

§ 20. Доказательство теоремы существования и единственности для
одного уравнения	152
§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для
нормальной системы уравнений	161
§ 22. Непродолжаемые решения	173
§ 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и
параметров	178
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и
параметрам	185
§ 25. Первые интегралы	196

Г л а в а п я т а я. Устойчивость	204

§ 26. Теорема Ляпунова	205
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского)	218
§ 28. Предельные циклы	224
§ 29. Ламповый генератор	244
§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка	251
§ 31. Устойчивость периодических решений	268

Д о б а в л е н и е I. Некоторые вопросы анализа	284

§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств	284
§ 33. Теоремы о неявных функциях	298

Д о б а в л е н и е II. Линейная алгебра	309

§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен	309
§ 35. Функции матриц	316
§ 36. Жорданова форма матрицы	323

Предметный указатель	329

Книги на ту же тему

Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
Дифференциальные уравнения, Трикоми Ф., 1962
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 5-е изд., доп., Петровский И. Г., 1964
Сборник задач по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. — 6-е изд., стер., Филиппов А. Ф., 1985
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — 7-е изд., испр., Петровский И. Г., 1984
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи, Хайрер Э., Нёрсетт С. П., Ваннер Г., 1990
Нелинейные дифференциальные уравнения, Куфнер А., Фучик С., 1988
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Холл Д., Уатт Д., ред., 1979
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Обыкновенные дифференциальные уравнения, Федорюк М. В., 1980
Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 4-е изд., испр., Камке Э., 1971
Фундаментальные основы математического моделирования, Макаров И. М., ред., 1997
Численные методы анализа: Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения, Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З., 1963
Численные процессы решения дифференциальных уравнений, Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., 1969
Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения, Оксендаль Б., 2003
Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи, Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И., 1995
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). Учебное пособие для университетов, Зубов В. И., 1973
Лекции по математической теории устойчивости, Демидович Б. П., 1967
Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
Теория колебаний, Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1981
Введение в теорию нелинейных колебаний: Учебное пособие для втузов. — 2-е изд., испр., Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., 1987
Нелинейные системы автоматического регулирования (расчёт и проектирование), Хлыпало Е. И., 1967
Курс теории автоматического управления, Паллю де Ла Барьер Р., 1973
Практикум по теории автоматического управления химико-технологическими процессами. Аналоговые системы. — 2-е изд., перераб. и доп., Борисов В. В., Плютто В. П., 1987
Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 3-е изд., Кострикин А. И., 2004
Определители и матрицы. — 2-е изд., Боревич З. И., 1970

elapsed time 0.017 sec

/Наука и Техника/Математика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему