| Предисловие | 8 |
| |
| Г л а в а I. Тригонометрические ряды Фурье | 11 |
| |
 § 1. Периодические функции | 11 |
| § 2. Гармоники | 13 |
| § 3. Тригонометрические многочлены и ряды | 17 |
| § 4. Уточнение терминологии. Интегрируемость. |
| Функциональные ряды | 19 |
| § 5. Основная тригонометрическая система. |
| Ортогональность синусов и косинусов | 23 |
| § б. Ряд Фурье для функции периода 2π | 25 |
| § 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке |
| длины 2π | 29 |
| § 8. Правый и левый пределы функции в точке. Точки |
| разрыва пергого рода | 32 |
| § 9. Гладкие и кусочно-гладкие функции | 33 |
| § 10. Признак сходимости ряда Фурье | 35 |
| § 11. Чётные и нечётные функции | 37 |
| § 12. Ряды по косинусам и ряды по синусам | 38 |
| § 13. Примеры разложений в ряд Фурье | 41 |
| § 14. Комплексная форма ряда Фурье | 50 |
| § 15. Функции периода 2L | 53 |
| |
| Г л а в а II. Ортогональные системы | 61 |
| |
| § 1. Определение. Нормированные системы | 61 |
| § 2. Ряд Фурье по данной ортогональной системе | 62 |
| § 3. Примеры простейших ортогональных систем | 64 |
| § 4. Функции с интегрируемым квадратом. Неравенство |
| Буняковского | 72 |
| § 5. Квадратичное уклонение; его минимум | 74 |
| § 6. Неравенство Бесселя и его следствия | 76 |
| § 7. Полные системы. Сходимость в среднем | 77 |
| § 8. Важнейшие свойства полных систем | 81 |
| § 9. Критерий полноты системы | 83 |
| § 10*. Аналогия с векторами | 85 |
| |
| Г л а в а III. Сходимость тригонометрических рядов Фурье | 88 |
| |
| § 1. Неравенство Бесселя и его следствие | 88 |
| § 2. Предел при n ¥ тригонометрических интегралов |
| int^b_a f (х) cos nх dx и int^b_a f(х) sin nх dx | 90 |
| § 3. Формула для суммы косинусов. Вспомогательные |
| интегралы | 96 |
| § 4. Интегральная формула для частной суммы ряда |
| Фурье | 97 |
| § 5. Правая и левая производные | 98 |
| § 6. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье |
| в точке непрерывности функции | 100 |
| § 7. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье |
| в точке разрыва функции | 102 |
| § 8. Обобщение достаточных условий, установленных |
| в §§ 6 и 7 | 104 |
| § 9. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой |
| функции (непрерывной пли разрывной) | 105 |
| § 10. Абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье |
| непрерывной и кусочно-гладкой функции периода 2π | 105 |
| § 11. Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной |
| функции периода 2π, обладающей абсолютно |
| интегрируемой производной | 109 |
| § 12. Обобщение результатов § 11 | 113 |
| § 13. Принцип локализации | 117 |
| § 14. Примеры разложения в ряд Фурье неограниченных |
| функций | 120 |
| § 15. Замечание о функциях периода 2L | 124 |
| |
| Г л а в а IV. Тригонометрические ряды с убывающими |
| коэффициентами. Отыскание сумм некоторых рядов | 125 |
| |
| § 1. Лемма Абеля | 125 |
| § 2. Формула для суммы синусов. Вспомогательные |
| неравенства | 126 |
| § 3. Сходимость тригонометрических рядов с монотонно |
| убывающими коэффициентами | 128 |
| § 4*. Некоторые следствия теорем § 3 | 131 |
| § 5. Применение функций комплексного переменного |
| для отыскания сумм некоторых тригонометрических |
| рядов | 135 |
| § 6. Уточнение результатов § 5 | 138 |
| |
| Г л а в а V. Полнота тригонометрической системы. |
| Операции с рядами Фурье | 14? |
| |
| § 1. Приближения функций тригонометрическими |
| многочленами | 147 |
| § 2. Полнота тригонометрической системы | 150 |
| § 3. Формула Ляпунова. Важнейший следствия полноты |
| тригонометрической системы | 151 |
| § 4*. Приближения функций многочленами | 153 |
| § 5. Сложение и вычитание рядов Фурье. Умножение |
| на число | 156 |
| § б*. Умножение рядов Фурье | 157 |
| § 7. Интегрирование рядов Фурье | 159 |
| § 8. Дифференцирование рядов Фурье. Случай |
| непрерывной функции периода 2π | 164 |
| § 9*. Дифференцирование рядов Фурье. Сличай |
| функции, заданной на отрезке [—π, π] | 168 |
| § 10*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай |
| функции, заданной на отрезке [0, π] | 174 |
| § 11. Улучшение сходимости рядов Фурье | 183 |
| § 12. Таблица некоторых тригонометрических |
| разложений | 189 |
| § 13. Приближённое вычисление коэффициентов Фурье | 193 |
| |
| Г л а в а VI. Суммирование тригонометрических рядов |
| Фурье | 201 |
| |
| § 1. Постановка задачи | 201 |
| § 2. Способ средних арифметических | 202 |
| § 3. Интегральная формула для среднего |
| арифметического частных сумм ряда Фурье | 203 |
| § 4. Суммирование рядов Фурье способом средних |
| арифметических | 205 |
| § 5. Способ степенных множителей | 210 |
| § 6. Ядро Пуассона | 211 |
| § 7. Применение способа степенных множителей к |
| суммированию рядов Фурье | 212 |
| |
| Г л а в а VII. Двойные тригонометрические ряды. |
| Интеграл Фурье | 221 |
| |
| § 1. Ортогональные системы в случае двух переменных. |
| Ряды Фурье | 221 |
| § 2. Основная тригонометрическая система в случае |
| двух переменных. Двойные тригонометрические |
| ряды Фурье | 223 |
| § 3. Интегральная формула для частных сумм двойного |
| тригонометрического ряда Фурье. Признак сходимости | 227 |
| § 4. Двойные ряды Фурье в случае функций с |
| различными периодами по х и по у | 229 |
| § 5. Интеграл Фурье как предельный случай ряда |
| Фурье . | 230 |
| § 6. О несобственных интегралах, зависящих от |
| параметра | 233 |
| § 7. Две леммы | 237 |
| § 8. Доказательство интегральной формулы Фурье | 240 |
| § 9. Различные виды интегральной формулы Фурье | 241 |
| § 10*. Преобразование Фурье | 243 |
| |
| Г л а в а VIII. Бесселевы функции | 248 |
| |
| § 1. Уравнение Эйлера-Бесселя | 248 |
| § 2. Бесселевы функции первого рода с |
| неотрицательным индексом | 249 |
| § 3. О Г-функции | 253 |
| § 4. Бесселевы функции первого рода с отрицательным |
| индексом | 254 |
| § 5. Общий интеграл уравнения Эйлера-Бесселя | 256 |
| § 6. Бесселевы функции второго рода | 256 |
| § 7. Соотношения между бесселевыми функциями с |
| различными индексами | 258 |
| § 8. Бесселевы функции первого рода с индексом вида |
| р=(2n+1)/2, n — целое | 260 |
| § 9. Асимптотические формулы для бесселевых |
| функций | 261 |
| § 10. Корни бесселевых функций и функции, |
| связанных с ними | 268 |
| § 11. Уравнение Эйлера-Бесселя с параметром | 270 |
| § 12. Ортогональность функций вида Jp(λx) | 271 |
| § 13. Вычисление интеграла int^1_0 xJp2(λx) dx | 274 |
| § 14*. Оценка интеграла int^1_0 xJp2(λx) dx | 276 |
| |
| Г л а в а IX. Ряды Фурье по бесселевым функциям | 279 |
| |
| § 1. Ряды Фурье-Бесселя | 279 |
| § 2. Признаки сходимости рядов Фурье-Бесселя | 280 |
| § 3*. Неравенство Бесселя и следствия из него | 282 |
| § 4*. Порядок коэффициентов, обеспечивающий |
| равномерную сходимость ряда Фурье-Бесселя | 285 |
| § 5*. Порядок коэффициентов Фурье Бесселя для |
| дважды дифференцируемой функции | 288 |
| § 6*. Порядок коэффициентов Фурье-Бесселя для |
| функции, дифференцируемой несколько раз | 292 |
| § 7*. О почленном дифференцировании рядов Фурье-Бесселя | 295 |
| § 8. Ряды Фурье-Бесселя второго типа | 299 |
| § 9*. Распространение результатов §§ 3—7 на ряды |
| Фурье-Бесселя второю типа | 30^ |
| § 10. Разложение в ряды Фурье-Бесселя функций, |
| заданных на отрезке [0, L] | 305 |
| |
| Г л а в а X. Метод собственных функций в решении |
| некоторых задач математической физики | 309 |
| |
| § 1. Сущность метода | 309 |
| § 2. Обычная постановка краевой задачи | 315 |
| § 3. О существовании собственных значений | 316 |
| § 4. Собственные функции; их ортогональность | 317 |
| § 5. О знаке собственных значений | 320 |
| § 6. Ряды Фурье по собственным функциям | 321 |
| § 7. Всегда ли метод собственных функций |
| действительно приводит к решению задачи? | 325 |
| § 8. Обобщённое решение | 329 |
| § 9. Неоднородная задача | 333 |
| § 10. Заключение | 336 |
| |
| Г л а в а XI. Приложения | 338 |
| |
| § 1. Уравнение колеблющейся струны | 338 |
| § 2. Свободные колебания струны | 340 |
| § 3. Вынужденные колебания струны | 344 |
| § 4. Уравнение продольных колебаний стержня | 346 |
| § 5. Свободные колебания стержня | 349 |
| § 6. Вынужденные колебания стержня | 352 |
| § 7. Колебания прямоугольной мембраны | 354 |
| § 8. Радиальные колебания круглой мембраны | 361 |
| § 9. Колебания круглой мембраны (общий случай) | 364 |
| § 10. Уравнение распространения тепла в стержне | 370 |
| § 11. Распространение тепла в стержне, концы которого |
| поддерживаются при нулевой температуре | 372 |
| § 12. Распространение тепла в стержне, концы которого |
| поддерживаются при постоянных температурах | 374 |
| § 13. Распространение тепла в стержне, концы которого |
| находятся при заданных переменных температурах | 375 |
| § 14. Распространение тепла в стержне, в концах |
| которого происходит свободный теплообмен с |
| окружающей средой | 376 |
| § 15. Распространение тепла в бесконечном |
| стержне | 381 |
| § 16. Распространение тепла п круглом цилиндре; |
| случай изолированной поверхности | 387 |
| § 17. Распространение тепла в круглом цилиндре; |
| случай теплообмена с внешней средой на поверхности | 389 |
| § 18. Распространение тепла в круглом цилиндре; |
| случай установившейся температуры | 390 |
| |
| Алфавитный указатель | 394 |
