| ПРЕДИСЛОВИЕ | 7 |
| |
 Г Л А В А 1 |
| ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ |
| |
| § 1. Классические группы малых размерностей | 9 |
| |
| 1. Общие определения (9). 2. Параметризация групп SU(2), SO(3) (10). |
| 3. Эпиморфизм SU(2) → SO(3) (12). 4. Геометрическое изображение |
| группы SO(3) (14). 5. Кватернионы (14). Упражнения (18) |
| |
| § 2. Смежные классы по подгруппе | 19 |
| |
| 1. Элементарные свойства (19). 2. Строение циклических групп (22). |
| Упражнения (23) |
| |
| § 3. Действие групп на множествах | 23 |
| |
| 1. Гомоморфизмы G → S(Ω) (23). 2. Орбиты и стационарные подгруппы |
| точек (24). 3. Примеры действий групп на множествах (26). |
| 4. Однородные пространства (30). Упражнения (31) |
| |
| § 4. Факторгруппы и гомоморфизмы | 32 |
| |
| 1. Понятие о факторгруппе (32). 2. Теоремы о гомоморфизмах |
| групп (33). 3. Коммутант (37). 4. Произведения групп (39). |
| 5. Образующие и определяющие соотношения (41). Упражнения (45) |
| |
| Г Л А В А 2 |
| СТРОЕНИЕ ГРУПП |
| |
| § 1. Разрешимые и простые группы | 48 |
| |
| 1. Разрешимые группы (48). 2. Простые группы (50). Упражнения (54) |
| |
| § 2. Теоремы Силова | 54 |
| |
| Упражнения (59) |
| |
| § 3. Конечно порождённые абелевы группы | 60 |
| |
| 1. Примеры и предварительные результаты (60). 2. Абелевы группы без |
| кручения (61). 3. Свободные абелевы группы конечного ранга (64). |
| 4. Строение конечно порождённых абелевых групп (66). 5. Другие |
| подходы к проблеме классификации (67). 6. Основная теорема |
| о конечных абелевых группах (71). Упражнения (74) |
| |
| § 4. Линейные группы Ли | 74 |
| |
| 1. Определения и примеры (74). 2. Кривые в матричных группах (76). |
| 3. Дифференциал гомоморфизма (78). 4. Алгебра Ли группы Ли (79). |
| 5. Логарифм (81). Упражнения (82) |
| |
| Г Л А В А 3 |
| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ |
| |
| § 1. Определения и примеры линейных представлений | 86 |
| |
| 1. Основные понятия (86). 2. Примеры линейных представлений (91). |
| Упражнения (95) |
| |
| § 2. Унитарность и приводимость | 96 |
| |
| 1. Унитарные представления (96). 2. Полная приводимость (99). |
| Упражнения (102) |
| |
| § 3. Конечные группы вращений | 102 |
| |
| 1. Порядки конечных подгрупп в SO(3) (103). 2. Группы правильных |
| многогранников (105). Упражнения (108) |
| |
| § 4. Характеры линейных представлений | 109 |
| |
| 1. Лемма Шура и её следствие (109). 2. Характеры |
| представлений (111). Упражнения (116) |
| |
| § 5. Неприводимые представления конечных групп | 117 |
| |
| 1. Число неприводимых представлений (117). 2. Степени неприводимых |
| представлений (119). 3. Представления абелевых групп (121). |
| 4. Представления некоторых специальных групп (123). Упражнения (125) |
| |
| § 6. Представления групп SU(2) и SO(3) | 127 |
| |
| Упражнения (130) |
| |
| § 7. Тензорное произведение представлений | 131 |
| |
| 1. Контрагредиентное представление (131). 2. Тензорное произведение |
| представлений (132). 3. Кольцо характеров (133). 4. Инварианты |
| линейных групп (136). Упражнения (140) |
| |
| Г Л А В А 4 |
| КОЛЬЦА И МОДУЛИ |
| |
| § 1. Теоретико-кольцевые конструкции | 142 |
| |
| 1. Идеалы колец и факторкольца (142). 2. Поле разложения |
| многочлена (144). 3. Теоремы об изоморфизме колец (147). |
| Упражнения (149) |
| |
| § 2. Отдельные результаты о кольцах | 150 |
| |
| 1. Целые гауссовы числа (150). 2. Каноническое разложение суммы |
| двух квадратов (152). 3. Полиномиальные расширения факториальных |
| колец (153). 4. Строение мультипликативной группы U(Zn) (154). |
| Упражнения (158) |
| |
| § 3. Модули | 159 |
| |
| 1. Первоначальные сведения о модулях (159). 2. Свободные |
| модули (163). 3. Целые элементы кольца (166). Упражнения (167) |
| |
| § 4. Алгебры над полем | 168 |
| |
| 1. Определения и примеры алгебр (168). 2. Алгебры с делением |
| (тела) (170). 3. Групповые алгебры и модули над ними (174). |
| Упражнения (183) |
| |
| § 5. Неприводимые модули над алгеброй Ли sl(2) | 184 |
| |
| 1. Исходный материал (184). 2. Веса и кратности (186). 3. Старший |
| вектор (186). 4. Классификационный результат (187). Упражнения (188) |
| |
| Г Л А В А 5 |
| НАЧАЛА ТЕОРИИ ГАЛУА |
| |
| § 1. Конечные расширения полей | 190 |
| |
| 1. Примитивные элементы и степени расширений (190). 2. Изоморфизм |
| полей разложения (194). 3. Существование примитивного |
| элемента (196). Упражнения (198) |
| |
| § 2. Конечные поля | 198 |
| |
| 1. Существование и единственность (198). 2. Подполя и автоморфизмы |
| конечного поля (200). 3. Формула обращения Мёбиуса и её |
| применения (201). Упражнения (206) |
| |
| § 3. Соответствие Галуа | 207 |
| |
| 1. Предварительные результаты (207). 2. Фундаментальное соответствие |
| Галуа (210). 3. Иллюстрации к соответствию Галуа (211). |
| Упражнения (215) |
| |
| § 4. Вычисление группы Галуа | 215 |
| |
| 1. Действие группы Gal(f) на корнях многочлена f (215). |
| 2. Многочлены и группы простой степени (217). 3. Метод приведения |
| по модулю р (219). 4. Нормальный базис (224). Упражнения (227) |
| |
| § 5. Расширения Галуа и смежные вопросы | 228 |
| |
| 1. Простые числа в арифметической прогрессии (228). 2. Расширения |
| с абелевой группой Галуа (229). 3. Норма и след (230). |
| 4. Циклические расширения (233). 5. Критерий разрешимости уравнений |
| в радикалах (235). Упражнения (238) |
| |
| § 6. Жёсткость и рациональность в конечных группах | 238 |
| |
| 1. Определения и формулировка основной теоремы (239). 2. Подсчёт |
| решений (240). 3. Примеры жёсткости (243). Упражнения (245) |
| |
| § 7. Эпилог | 245 |
| |
| П Р И Л О Ж Е Н И Е |
| НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ |
| |
| 1. Классификация конечных простых групп | 248 |
| 2. Регулярный автоморфизм | 249 |
| 3. Странная алгебра Ли | 249 |
| 4. Проблема Бернсайда | 249 |
| 5. Конечные группы полиномиальных автоморфизмов | 250 |
| 6. Просто приводимые группы | 250 |
| 7. Обратная задача Галуа | 251 |
| |
| ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ | 254 |
| МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ | 263 |
| ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | 268 |
