| Введение | 7 |
| |
 Ч А С Т Ь I |
| ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ СОЛИТОНЫ |
| |
| Г л а в а I. Интегрируемые уравнения с аттракторами | 11 |
| |
| § 1. Алгебраическая конструкция дифференциальных уравнений |
| с аттракторами | 11 |
| § 2. Динамические системы с аттракторами | 16 |
| § 3. Одномерные интегрируемые уравнения | 19 |
| |
| Г л а в а II. Опрокидывающиеся солитоны в двумерных |
| интегрируемых уравнениях | 26 |
| |
| § 1. Двумерное интегрируемое уравнение | 27 |
| § 2. Основная лемма | 31 |
| § 3. Опрокидывающиеся солитоны и N'-солитонные решения | 38 |
| § 4. Второе двумерное интегрируемое уравнение | 46 |
| § 5. О связи с уравнением Кадомцева-Петвиашвили | 49 |
| § 6. Динамика полюсов мероморфных решений | 51 |
| § 7. Трёхмерное интегрируемое уравнение | 55 |
| § 8. Третье двумерное интегрируемое уравнение | 56 |
| § 9. Интегрируемая двумеризация уравнения Бюргерса и динамика |
| особенностей | 58 |
| |
| Г л а в а III. Двумерное модифицированное интегрируемое |
| уравнение | 61 |
| |
| § 1. Двумерное модифицированное уравнение | 61 |
| § 2. Счётное множество законов сохранения | 65 |
| § 3. Представление Лакса для двумерного модифицированного |
| уравнения (1.5) | 68 |
| § 4. Представление Лакса для двумерных уравнений (1.5) и (1.6) | 70 |
| § 5. Представление Лакса с эрмитовым оператором L | 73 |
| § 6. Опрокидывающиеся солитоны | 74 |
| § 7. Эволюция данных рассеяния | 77 |
| § 8. Интегрируемые комплексификации уравнений КдФ и МКдФ | 80 |
| § 9. Интегрируемые расширения уравнения КдФ с оператором L |
| четвёртого порядка. Модифицированная цепочка Тода | 84 |
| |
| Г л а в а IV. Трёхмерное комплексное интегрируемое |
| уравнение | 91 |
| |
| § 1. Представление Лакса для трёхмерного комплексного уравнения | 91 |
| § 2. Опрокидывающиеся солитоны двумерных редукций | 96 |
| § 3. Двумерное матричное уравнение, допускающее представление Лакса | 98 |
| |
| Ч А С Т Ь I I |
| АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ |
| ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
| |
| Г л а в а V. Интегрируемые дискретизации уравнения |
| Кортевега — де Фриза | 101 |
| |
| § 1. Интегрируемые динамические системы с квадратичной нелинейностью | 101 |
| § 2. Интегрируемые редукции динамических систем (1.3) | 108 |
| § 3. Интегрируемые динамические системы с произвольной степенью |
| нелинейности | 112 |
| § 4. Интегрируемые редукции динамических систем (3.1) | 118 |
| § 5. Интегрируемые дискретизации второго уравнения КдФ | 121 |
| § 6. Общие конструкции интегрируемых дискретизаций уравнения КдФ | 125 |
| |
| Г л а в а VI. Интегрируемое интегро-дифференциальное |
| уравнение | 130 |
| |
| § 1. Интегро-дифференциальное уравнение как континуальный предел |
| семейства динамических систем | 130 |
| § 2. Основные свойства интегро-дифференциального уравнения (1.3) | 134 |
| § 3. Иерархия высших уравнений | 140 |
| |
| Г л а в а VII. Интегрируемые уравнения в алгебрах гладких |
| функций и в непрерывных ассоциативных алгебрах | 146 |
| |
| § 1. Первые интегралы дифференциальных уравнений, связанных |
| с автоморфизмами ассоциативных алгебр | 146 |
| § 2. Алгебраические конструкции некоторых интегрируемых уравнений | 149 |
| § 3. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения |
| в алгебрах функций | 160 |
| § 4. Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и её применения | 167 |
| § 5. Применения к уравнениям Эйлера в прямой сумме алгебр Ли |
| gl(n, R) и so(n, R) | 174 |
| § 6. Третья теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и её |
| применения | 179 |
| § 7. Матричные уравнения, допускающие представление Лакса |
| с несколькими спектральными параметрами | 182 |
| |
| Г л а в а VIII. Интегрируемые динамические системы, |
| связанные с простыми алгебрами Ли | 187 |
| |
| § 1. Алгебраические обобщения цепочки Тода | 187 |
| § 2. Алгебраические аналоги системы Вольтерра | 191 |
| § 3. Интегрируемые гамильтоновы возмущения цепочки Тода и её |
| обобщений | 199 |
| § 4. Представление нулевой кривизны для некоторых расширений |
| обобщённых цепочек Тода и уравнения Синус Гордона | 202 |
| § 5. Континуальные пределы цепочки Тода и её двумеризации. |
| Опрокидывающиеся решения | 205 |
| § 6. Опрокидывающиеся решения в континуальных пределах систем |
| Ферми-Паста-Улама и их двумеризаций | 212 |
| |
| Ч А С Т Ь I I I |
| ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА |
| НА КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ |
| В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |
| |
| Г л а в а IX. Уравнения Эйлера на конечномерных |
| коалгебрах Ли, возникающие в физических задачах | 217 |
| |
| § 1. Классические исследования уравнений Эйлера вращения n-мерного |
| твёрдого тела | 218 |
| § 2, Уравнения Эйлера на коалгебрах Ли, связанные с динамикой |
| твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, и с движением тела |
| в жидкости | 220 |
| § 3. Алгебраическая и гамильтонова структура уравнений вращения |
| спутника вокруг центра масс | 220 |
| |
| Г л а в а X. Интегрирование динамики произвольного твёрдого |
| тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным |
| квадратичным потенциалом | 230 |
| |
| § 1. История вопроса | 230 |
| § 2. Интегрируемость по Лиувиллю уравнений вращения твёрдого тела |
| вокруг неподвижного центра масс в поле удалённых притягивающих |
| объектов | 233 |
| § 3. Интегрируемость по Лиувиллю уравнений |
| поступательно-вращательного движения твёрдого тела |
| в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом | 236 |
| § 4. Интегрирование динамики в тэта-функциях Римана | 241 |
| § 5. Динамика симметричного твёрдого тела в ньютоновском |
| гравитационном поле с квадратичным потенциалом | 250 |
| § 6. Интегрируемые случаи уравнений вращения твёрдого тела |
| в нелинейных гравитационных полях | 254 |
| § 7. Интегрируемость n-мерного аналога задачи о динамике твёрдого |
| тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным |
| квадратичным потенциалом | 256 |
| |
| Г л а в а XI. Интегрируемые уравнения Эйлера на некоторых |
| шестимерных коалгебрах Ли | 260 |
| |
| § 1. Уравнения Эйлера для двух классов шестимерных коалгебр Ли | 260 |
| § 2. Интегралы J4 четвёртой степени | 263 |
| § 3. Явное интегрирование некоторых уравнений Эйлера на коалгебре |
| Ли SO(4) | 267 |
| § 4. Интегралы J4 второй степени | 272 |
| § 5. Физические применения уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO(4) | 278 |
| § 6. Лагранжева структура уравнений Кирхгофа | 284 |
| |
| Г л а в а XII. Периодические решения в модели вращения |
| пульсара | 291 |
| |
| § 1. Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара | 292 |
| § 2. Динамика твёрдого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной |
| магнитной жидкостью | 294 |
| § 3. Первые интегралы динамической системы. Интегрируемые случаи | 297 |
| § 4. Периодические решения | 300 |
| |
| Д о п о л н е н и е. Системы гидродинамического типа, |
| допускающие операторные представления | 305 |
| |
| § 1. Система гидродинамического типа, связанная с моделью Вольтерра | 305 |
| § 2. Интегрируемое 2+1-мерное уравнение как континуальный предел |
| систем гидродинамического типа | 307 |
| § 3. Система гидродинамического типа, связанная с цепочкой Тода | 308 |
| |
| Список литературы | 311 |
