| Введение | 12 |
| Литература | 18 |
| |
| Глава 1. Схема «КАБАРЕ» для простейших уравнений |
 гиперболического типа | 19 |
| |
| Введение | 19 |
| 1.1. Схема «КАБАРЕ» для простейшего линейного одномерного скалярного |
| уравнения переноса | 22 |
| 1.1.1. Простейшее уравнение переноса | 22 |
| 1.1.2. Связь схемы «КАБАРЕ» со схемой Upwind LeapFrog |
| (схема Айзерлиса) | 24 |
| 1.1.3. Каналы высокой точности схемы «КАБАРЕ» | 25 |
| 1.1.4. Законы сохранения | 26 |
| 1.1.5. Квадратичные законы сохранения и достаточные условия |
| устойчивости | 27 |
| 1.1.6. Диссипативные и дисперсионные свойства схемы «КАБАРЕ» | 30 |
| 1.1.7. Групповая скорость переноса возмущений в схеме «КАБАРЕ» | 37 |
| 1.1.8. Управление диссипативными и дисперсионными свойствами |
| схемы «КАБАРЕ» | 38 |
| 1.1.9. Нелинейная коррекция схемы «КАБАРЕ» | 40 |
| 1.1.10. Схема «КАБАРЕ» для уравнения конвекции-диффузии | 42 |
| 1.1.11. Примеры тестовых расчётов. Линейный перенос в случае |
| разрывной и непрерывной функции начального распределения | 45 |
| 1.1.12. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай дивергентной формы |
| представления линейного уравнения переноса | 47 |
| 1.1.13. Некоторые комментарии | 50 |
| 1.2. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на одномерные скалярные квазилинейные |
| законы сохранения гиперболического типа | 51 |
| 1.2.1. Базовый алгоритм | 51 |
| 1.2.2. Проблема переключения потоков в схеме «КАБАРЕ» | 53 |
| 1.2.3. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай нелинейных потоков | 53 |
| 1.2.4. Частная задача Римана для уравнения с выпуклыми потоками | 55 |
| 1.2.5. Форма представления оператора Римана, не опирающаяся |
| на свойство дифференцируемости функции потока | 57 |
| 1.2.6. Процедура согласования начальных значений консервативных |
| и потоковых переменных и оператор переключения потоковых |
| переменных | 57 |
| 1.2.7. Невыпуклые функции потоков. Принцип минимума парциальной |
| локальной вариации | 58 |
| 1.2.8. Одномерные квазилинейные уравнения с произвольными |
| потоками | 59 |
| 1.2.9. Примеры тестовых расчётов | 60 |
| 1.2.10. Некоторые комментарии | 64 |
| 1.3. Метод «КАБАРЕ» для простейшей системы квазилинейных |
| гиперболических уравнений | 65 |
| 1.3.1. Простейшая система нелинейных гиперболических уравнений |
| (P-система) | 65 |
| 1.3.2. Характеристическая форма представления P-системы. |
| Волны разрежения | 66 |
| 1.3.3. Схема «КАБАРЕ» для расчёта волн разрежения P-системы. |
| Ориентация на характеристическую форму записи | 67 |
| 1.3.4. Схема «КАБАРЕ» с монотонизатором | 69 |
| 1.3.5. Консервативный вариант схемы «КАБАРЕ» | 70 |
| 1.3.6. Сравнение со схемой «крест» | 71 |
| 1.3.7. Законы сохранения и разрывные решения P-системы | 73 |
| 1.3.8. Тестовые задачи и эмпирическое исследование скорости |
| сходимости | 76 |
| 1.3.9. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений политропного газа |
| в эйлеровых переменных | 82 |
| 1.3.10. Примеры расчётов волн разрежения | 87 |
| 1.3.11. Законы сохранения и разрывные решения для системы |
| уравнений политропного газа в эйлеровых переменных | 90 |
| 1.3.12. Задача о распаде произвольного разрыва | 93 |
| 1.3.13. Примеры тестовых расчётов и эмпирическое исследование |
| сходимости | 94 |
| Заключение к главе 1 | 97 |
| Литература к главе 1 | 98 |
| |
| Глава 2. Численное моделирование затухания однородной |
| турбулентности в одномерном случае | 101 |
| |
| Введение | 101 |
| 2.1. Разностные схемы | 103 |
| 2.1.1. Схема «КАБАРЕ» | 103 |
| 2.1.2. Схема Лакса-Вендроффа | 106 |
| 2.1.3. Схема «Крест» | 107 |
| 2.1.4. Схема Аракавы | 108 |
| 2.1.5. Схема Годунова | 109 |
| 2.2. Примеры расчётов | 110 |
| 2.3. Спектры энергии для различных разностных схем | 113 |
| 2.4. Структурные функции | 117 |
| Заключение к главе 2 | 119 |
| Литература к главе 2 | 120 |
| |
| Глава 3. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений |
| газовой динамики | 122 |
| |
| 3.1. Схема «КАБАРЕ» для одномерных уравнений газовой динамики |
| в лагранжевых переменных | 122 |
| 3.1.1. Базовый алгоритм | 122 |
| 3.1.2. Нелинейная коррекция потоков | 126 |
| 3.1.3. Управляемая схемная диссипация | 127 |
| 3.1.4. Сильная ударная волна в лагранжевых переменных | 131 |
| 3.1.5. Сильная волна разрежения в лагранжевых переменных | 132 |
| 3.1.6. Модельные задачи | 133 |
| 3.1.7. Комментарии | 142 |
| 3.2. Одномерные уравнения газовой динамики в эйлеровых переменных | 143 |
| 3.2.1. Описание балансно-характеристического алгоритма | 144 |
| 3.2.2. Свойства балансно-характеристического алгоритма | 152 |
| 3.2.3. Примеры расчётов | 157 |
| 3.2.4. Исследование точности балансно-характеристического |
| алгоритма на модельных задачах | 161 |
| Заключение к главе 3 | 166 |
| Литература к главе 3 | 168 |
| |
| Глава 4. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на двумерные |
| ортогональные расчётные сетки | 169 |
| |
| 4.1. Консервативная и характеристическая формы представления |
| исходных уравнений | 169 |
| 4.2. Инварианты Римана для баротропных течений | 173 |
| 4.3. Расчётные сетки и дискретизация физических величин | 176 |
| 4.4. Консервативная разностная схема второго порядка аппроксимации | 177 |
| 4.5. Вычисление промежуточных значений консервативных переменных | 178 |
| 4.6. Локальные инварианты и их перенос в пределах одной ячейки |
| расчётной сетки | 180 |
| 4.7. Вычисление новых значений потоковых переменных |
| на сеточном множестве ℋωx | 186 |
| 4.8. Звуковые точки | 188 |
| 4.9. Вычисление новых значений потоковых переменных |
| на сеточном множестве ℋωy | 191 |
| 4.10. Граничные условия | 196 |
| 4.11. Вычисление новых значений консервативных переменных | 202 |
| 4.12. Условия вычислительной устойчивости и вычисление величины |
| шага по времени | 202 |
| 4.13. Примеры тестовых расчётов | 203 |
| 4.14. Рассеяние плоской звуковой волны на гладком вихре |
| постоянной циркуляции | 214 |
| 4.14.1. Случай средних акустических волн, 1 = 2,5L | 214 |
| 4.14.2. Случай коротких акустических волн, 1 = 0,036L | 216 |
| 4.15. Учёт вязкости | 219 |
| 4.16. Прямое моделирование взаимодействия вихревых пар | 226 |
| 4.16.1. Постановка задачи | 226 |
| 4.16.2. Результаты численных расчётов | 228 |
| 4.17. Приближение слабой сжимаемости | 233 |
| 4.18. Перенос пассивной примеси | 240 |
| 4.19. Обобщение схемы «КАБАРЕ» на случай несжимаемой жидкости | 247 |
| 4.20. Примеры тестовых расчетов | 254 |
| Заключение к гл. 4 | 257 |
| Литература к главе 4 | 258 |
| |
| Глава 5. Моделирование затухания однородной изотропной |
| турбулентности по схеме «КАБАРЕ» в двумерной и трёхмерной |
| несжимаемой жидкости | 260 |
| |
| Введение | 260 |
| 5.1. Моделирование двумерных турбулентных течений по схеме «КАБАРЕ» | 263 |
| 5.1.1. Уравнения движения | 264 |
| 5.1.2. Численный алгоритм | 265 |
| 5.1.3. Примеры расчётов | 275 |
| 5.2. Моделирование трёхмерных турбулентных течений по схеме «КАБАРЕ» | 288 |
| 5.2.1. Постановка задачи | 288 |
| 5.2.2. Численный алгоритм | 288 |
| 5.2.3. Общие замечания по алгоритму | 291 |
| 5.2.4. Примеры расчётов | 291 |
| Заключение к главе 5 | 304 |
| Литература к главе 5 | 305 |
| |
| Глава 6. Прямое моделирование термоконвективных течений |
| в замкнутых двумерных и трёхмерных областях | 308 |
| |
| Введение | 308 |
| 6.1. Схема «КАБАРЕ» для моделирования тепловой конвекции несжимаемой |
| жидкости в двумерном случае | 310 |
| 6.1.1. Математическая модель | 310 |
| 6.1.2. Дискретизация задачи | 313 |
| 6.1.3. Граничные условия | 319 |
| 6.2. Верификация двумерной схемы «КАБАРЕ» при различных числах Рэлея | 320 |
| 6.2.1. Задача Дэвиса. Течение в квадратной области | 320 |
| 6.2.2. Ламинарный двумерный тест ERCOFTAC | 327 |
| 6.2.3. Вертикальный слой в турбулентном режиме | 330 |
| 6.2.4. Горизонтальный слой в турбулентном режиме | 331 |
| 6.3. Схема «КАБАРЕ» для моделирования тепловой конвекции несжимаемой |
| жидкости в трёхмерном случае | 332 |
| 6.3.1. Математическая модель | 332 |
| 6.3.2. Дискретизация задачи | 335 |
| 6.4. Верификация трёхмерной схемы «КАБАРЕ» при различных |
| числах Рэлея | 340 |
| 6.4.1. Задача Дэвиса. Течение в кубической области | 340 |
| 6.4.2. Трёхмерный турбулентный тест ERCOFTAC | 342 |
| 6.4.3. Тепловая конвекция в замкнутой области в форме |
| параллелепипеда с соотношением сторон 1:4 | 349 |
| Заключение к главе 6 | 353 |
| Литература к главе 6 | 354 |
| |
| Глава 7. Схема «КАБАРЕ» для уравнений газовой динамики |
| на четырёхугольных криволинейных расчётных сетках |
| в случае двух пространственных измерений | 356 |
|
| Введение | 356 |
| 7.1. Уравнения Эйлера в криволинейных координатах | 357 |
| 7.2. Разностная аппроксимация законов сохранения | 361 |
| 7.3. Вычисление потоковых переменных на новом временном слое | 367 |
| 7.3.1. Процедура линейной экстраполяции локальных инвариантов | 370 |
| 7.3.2. Процедура нелинейной коррекции потоковых переменных на |
| основе принципа максимума | 371 |
| 7.3.3. Процедура селекции локальных инвариантов и вычисления |
| новых потоковых переменных | 372 |
| 7.4. Учёт вязкости | 375 |
| 7.5. Реализация граничных условий | 382 |
| 7.6. Вопросы аппроксимации | 384 |
| 7.7. Условия устойчивости. Выбор шага интегрирования по времени | 385 |
| 7.8. Примеры тестовых расчётов | 386 |
| 7.8.1. Задача об обтекании цилиндра потенциальным слабосжимаемым |
| потоком газа | 386 |
| 7.8.2. Дифракция акустического импульса на цилиндре в покоящейся |
| однородной среде | 387 |
| Заключение к главе 7 | 388 |
| Литература к главе 7 | 389 |
| |
| Глава 8. Схема «КАБАРЕ» для трёхмерных нестационарных |
| задач газовой динамики на косоугольных гексагональных |
| сетках | 390 |
| |
| 8.1. Уравнения Эйлера в криволинейной системе координат | 390 |
| 8.1.1. Исходные представления уравнений газовой динамики | 390 |
| 8.1.2. Криволинейная система координат | 391 |
| 8.1.3. Якобианы и их основные свойства | 393 |
| 8.1.4. Дивергентное представление якобианов | 395 |
| 8.1.5. Основные законы сохранения в криволинейных координатах | 396 |
| 8.1.6. Перевод в криволинейные координаты «простой формы» |
| уравнений газовой динамики | 397 |
| 8.1.7. Приведение к локально-одномерному характеристическому |
| виду системы уравнений газовой динамики в криволинейных |
| координатах | 403 |
| 8.1.8. Локально-одномерные характеристические представления |
| уравнений газовой динамики в криволинейных координатах | 409 |
| 8.1.9. Консервативная запись уравнений Эйлера в криволинейных |
| координатах | 412 |
| 8.2. Схема «КАБАРЕ» для трёхмерных нестационарных задач газовой |
| динамики на криволинейных гексагональных сетках | 414 |
| 8.2.1. Аппроксимация геометрических характеристик |
| на структурированных гексагональных косоугольных сетках | 414 |
| 8.2.2. Дивергентное симметризованное определение объёма |
| расчётной косоугольной шестигранной ячейки | 418 |
| 8.2.3. Аппроксимация консервативного представления уравнения |
| Эйлера в криволинейных координатах | 419 |
| 8.2.4. Первый блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» | 419 |
| 8.2.5. Второй блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» | 421 |
| 8.2.5.1. Дискретизация геометрических факторов | 421 |
| 8.2.5.2. Определение локальных римановых инвариантов | 424 |
| 8.2.5.3. Вычисление новых потоковых переменных на новом |
| временном слое | 428 |
| 8.2.5.4. Дозвуковые течения | 433 |
| 8.2.5.5. Сверхзвуковые течения | 439 |
| 8.2.5.6. Полное число возможных вариантов. Особые точки | 440 |
| 8.2.5.7. Торможение сверхзвукового потока дозвуковым | 441 |
| 8.2.5.8. Звуковые точки | 442 |
| 8.2.5.9. Столкновение и разлет сверхзвуковых течений | 442 |
| 8.2.6. Третий блок разностных уравнений схемы «КАБАРЕ» | 442 |
| 8.3. Расчёт высокоскоростной турбулентной струи, истекающей |
| из конического сопла | 444 |
| 8.3.1. Постановка задачи и примеры расчётов в литературе | 444 |
| 8.3.2. Результаты расчётов по методу «КАБАРЕ» | 448 |
| 8.3.3. Пример акустического постпроцессинга: дальнее поле | 456 |
| 8.3.4. Результаты использования метода ФВ-X без учёта |
| внешнего квадруполя для струи JEAN | 461 |
| Заключение к главе 8 | 462 |
| Литература к главе 8 | 462 |
| |
| Заключение | 464 |
