Физика

Лагранжев анализ и квантовая механика: Математическая структура, связанная с асимптотическими разложениями и индексом Маслова

Лере Ж.

год издания — 1981, кол-во страниц — 262, тираж — 6000, язык — русский, тип обложки — мягк., масса книги — 240 гр., издательство — Мир

серия — Новое в зарубежной науке. Математика

цена: 500.00 руб

Сохранность книги — хорошая

SÉRIES DE MATHÉMATIQUES
PURES ET APPLIQUÉES
I.R.M.A.

JEAN LERAY
ANALYSE LAGRANGIENNE
ET MÉCANIQUE QUANTIQUE;
UNE STRUCTURE MATHÉMATIQUE
APPARENTÉE AUX
DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
ET Á L'INDICE DE MASLOV

Strasbourg, 1978

Пер. с фр. З. Я. Шапиро

Формат 60x90 1/16. Бумага кн. журн. №2. Печать высокая

Монография французского математика Ж. Лере, одного из крупнейших математиков нашего столетия, посвящённая асимптотическим методам математической физики. Созданный автором лагранжев анализ использует новейшие достижения современного анализа, алгебры и топологии.

Книга представляет интерес для научных работников, занимающихся математической физикой, дифференциальной и алгебраической топологией, функциональным анализом и теоретической физикой.

Содержание настоящей книги, написанной одним из крупнейших математиков современности Ж. Лере, тесно связано с асимптотическими методами для дифференциальных уравнений математической физики, в частности для уравнений квантовой механики и волновой оптики. Эти уравнения содержат чисто мнимый параметр ν, который в ряде важных задач можно считать большим, и в простейшей ситуации асимптотику решения можно искать в виде произведения быстро осциллирующей экспоненты e^νφ(x) и асимптотического ряда по степеням ν^-1. Такое приближение называется в квантовой механике квазиклассическим, а в волновой оптике — геометрооптическим (или коротковолновым), и восходит к П. Дебаю. Фазовая функция удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби классической механики, и потому говорят, что «при h → 0 квантовая механика переходит в классическую». Однако, как хорошо известно, условием квазиклассичности служит не малость постоянной Планка h (заметим, что ν = i/h), а малость отношения дебройлевской длины волны частицы к характерной длине рассматриваемой квантовомеханической системы. Эта величина пропорциональна h, и для удобства вычислений считают малым параметром постоянную h. Аналогично обстоит дело и в волновой оптике.

Дебаевское приближение, как правило, непригодно в большом, из-за наличия каустик — многообразий, на которых оно обращается в бесконечность. До последнего времени асимптотика решений вблизи каустик была исследована лишь в простейших случаях — гладкой каустики, каустики с гладким ребром возврата (или с «клювом», в плоской задаче). Асимптотика решений в этих случаях выражается через эталонные интегралы Эйри и Пирси.

Метод, который позволил построить асимптотику решений в большом, в том числе и для более широких классов дифференциальных уравнений, был развит В. П. Масловым и привёл к таким новым математическим понятиям, как канонический оператор, индекс Маслова, условия квантования Маслова. Все эти понятия связаны с классом многообразий, названных В. П. Масловым лагранжевыми. Каждое такое решение ассоциировано с некоторым лагранжевым многообразием, и его асимптотика выражается через функции, заданные на этом многообразии.

В настоящей книге Ж. Лере показал, что с лагранжевыми многообразиями связан новый самостоятельный раздел анализа, названный им лагранжевым анализом. Объектом этого анализа служат пространства лагранжевых функций, определённых на лагранжевых многообразиях, и лагранжевы дифференциальные уравнения, не связанные ни с какими асимптотическими разложениями. Существенную роль в построениях Ж. Лере играют введённые им новые интегральные преобразования S_A, частным случаем которых являются ν/i-преобразования Фурье. Группа S_A изоморфна двукратному накрытию Sp₂(l) симплектической группы Sp(l).

В главе I помимо свойств преобразований S_A изложены также основные свойства лагранжевых многообразий и лагранжевых грассманианов, симплектическая и q-симплектические геометрии и определения и основные свойства индексов Маслова. В главе II развит лагранжев анализ: введены лагранжевы функции и лагранжевы дифференциальные операторы. Центральную часть этой главы составляют §§ 3, 4, в которых построены решения лагранжевых уравнений и систем. В главах III, IV лагранжев анализ применяется к ряду важнейших задач нерелятивистской и релятивистской квантовой механики.

Специально для русского издания Ж. Лере сделал ряд изменений и уточнений своей работы; переводчик и редактор весьма признательны ему за это. В настоящем издании добавлены ссылки на работы, примыкающие к тематике книги.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
М. В. Федорюк

Предисловие редактора перевода	б
Предисловие	7

Глава I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА	9

Введение	9
§ 1. Дифференциальные операторы, метаплектическая и симплектическая
группы	9
0. Введение	9
1. Метаплектическая группа Mp(l)	9
2. Подгруппа Sp₂(l) группы Mp(l)	17
3. Дифференциальные операторы с полиномиальными коэффициентами	27
§ 2. Индексы Маслова; индексы инерции; лагранжевы многообразия
и их ориентация	31
0. Введение	31
1. Выбор эрмитовой структуры в Z(l)	31
2. Лагранжев грассманиан Λ(l) в Z(l)	33
3. Накрытая Sp(l) и Λ(l)	36
4. Индексы инерции	41
5. Индекс Маслова m на Λ²_∞(l)	46
6. Скачок индекса Маслова m(λ_∞, λ'_∞) в точке (λ, λ'), где
dim λ ∩ λ' = 1	50
7. Индекс Маслова на Sp_∞(l). Смешанный индекс инерции	54
8. Индексы Маслова на Λ_q(l) и Sp_q(l)	56
9. Лагранжевы многообразия	67
10. q-ориентация (q = 1, 2, … ∞)	59
§ 3. Симплектические пространства	60
0. Введение	60
1. Симплектическое пространство Z	61
2. Реперы в Z	62
3. q-реперы пространства Z	63
4. q-симплектические геометрии	67

Глава II. ЛАГРАНЖЕВЫ ФУНКЦИИ. ЛАГРАНЖЕВЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	68

Введение	68
§ 1. Формальный анализ	69
0. Резюме	69
1. Алгебра С(Х) асимптотических классов эквивалентности. Алгебра ℬ(Х)	69
2. Формальные числа; формальные функции	73
3. Интегрирование элементов ℱ₀(X)	79
4. Преобразование формальных функций элементами Sp₂(l)	86
5. Скалярное произведение и норма формальных функций с компактным
носителем	91
6. Формальные дифференциальные операторы	96
7 Формальные обобщённые функции	100
§ 2. Лагранжев анализ	10З
0. Резюме	103
1. Лагранжевы операторы	104
2. Лагранжевы функции на Ṽ	107
3. Лагранжевы функции на V	112
4. Группа Sp₂(Z)	120
5. Лагранжевы обобщённые функции	120
§ 3. Однородные лагранжевы системы с одной неизвестной функцией	121
0. Резюме	121
1. Лагранжевы многообразия, на которых определены лагранжевы
решения уравнения aU = 0	121
2. Теория Э. Картана форм Пфаффа	122
3. Лагранжевы многообразия симплектического пространства
и его гиперповерхности	125
4. Вычисление значения aU	131
5. Решение лагранжева уравнения aU = 0	135
6. Решения лагранжева уравнения aU = 0 [mod(1/ν²)]
с положительной амплитудой; квантование Маслова	138
7. Решение некоторых лагранжевых систем с одной неизвестной
функцией	140
8. Лагранжевы обобщённые функции. Решение однородной лагранжевой
системы	146
§ 4. Однородные лагранжевы системы с несколькими неизвестными	147
1. Вычисление ∑^μ_m=1 a^m_nU_m	147
2. Решение лагранжевой системы aU = 0 в случае, когда det a₀⁰
имеет только простые нули	151
3. Частный случай лагранжевой системы aU = 0, для которой
det a₀⁰ имеет кратные нули	154

Глава III. УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И КЛЕЙНА-ГОРДОНА
ДЛЯ АТОМА ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	157

Введение	157
§ 1. Гамильтониан H, к которому применима теорема 7.1 (гл. II, § 3).
Уровни энергии атома электрона с эффектом Зеемана	160
1. Четыре функции, из которых все пары, кроме одной, находятся
в инволюции на E³ ⊕ E³	160
2. Выбор гамильтониана H	164
3. Квантованные торы T(l, m, n)	167
4. Примеры: операторы Шредингера и Клейна-Гордона	171
§ 2. Лагранжево уравнение aU = 0 mod(1/ν²) (a ассоциировано с H;
U имеет лагранжеву амплитуду ≥ 0 и определено на компактном
многообразии V)	176
0. Введение	176
1. Решения уравнения aU = 0 mod(1/ν²) с лагранжевой амплитудой
≥ 0, определённые на торах V[L₀, M₀]	177
2. Компактные лагранжевы многообразия V, отличные от торов
V[L₀, M₀], на которых существуют решения уравнения
aU = 0 mod(1/ν²) с лагранжевой амплитудой ≥ 0	182
3. Пример: оператор Шредингера-Клейна-Гордона	194
§ 3. Лагранжева система: aU = (a_M - const)U = (а_L² - const)U = 0
когда a — оператор Шредингера-Клейна-Гордона	197
0. Введение	197
1. Коммутативность операторов a, a_L² и a_M, ассоциированных
с гамильтонианами H (§ 1, п. 2), L² и M (§ 1, п. 1)	197
2. Случай оператора a, коммутирующего с a_L² и a_M	200
3. Более специальный случай	209
4. Случай Шредингера-Клейна-Гордона	214
§ 4. Уравнение в частных производных Шредингера-Клейна-Гордона	218
0. Введение	218
1. Изучение задачи (0.1) без предположения (0.4)	219
2. Случай Шредингера-Клейна-Гордона	222

Глава IV. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА С ЭФФЕКТОМ ЗЕЕМАНА	225

Введение	225
§ 1. Лагранжева задача с двумя неизвестными	225
1. Выбор операторов, коммутирующих mod(1/ν³)	225
2. Решение лагранжевой задачи с двумя неизвестными	227
§ 2. Уравнение Дирака	235
0. Резюме	235
1. Редукция уравнения Дирака в лагранжевом анализе	235
2. Приведённое уравнение Дирака для атома электрона в постоянкой
магнитном поле	240
3. Уровни энергии	244
4. Общая интерпретация спина в лагранжевом анализе	247
5. Вероятность присутствия электрона	249

Литература	252
Указатель основных обозначений	255

Книги на ту же тему

Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Маслов В. П., Федорюк М. В., 1976
Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Маслов В. П., 1977
Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
Квазиклассическое приближение в квантовой механике, Толмачёв В. В., 1980
Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), Хединг Д., 1965
Применение теории групп в квантовой механике, Петрашень М. И., Трифонов Е. Д., 1967
Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики), Панченков А. Н., ред., 1984

http://knigoprovod.com

/Наука и Техника/Физика

ОГЛАВЛЕНИЕ

Книги на ту же тему