Рассматриваются решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от малого параметра. Асимптотическое разложение решений имеет, вообще говоря, различную структуру в различных областях (например, в области пограничного слоя, в окрестности разрыва предельного решения и т. п). Основное место занимает метод согласования асимптотических разложений решения (или метод сращиваемых асимптотических разложений).

На различных примерах, ведущих своё происхождение от некоторых задач механики сплошной среды, проводится формальное построение полных асимптотических разложений решения и даётся строгое обоснование правильности этих разложений.

Для специалистов в области математики, прикладной математики и механики. Доступна студентам старших курсов университетов.

Табл. 9. Ил. 36. Библиогр. 120 назв.

Асимптотические методы в анализе и в особенности в теории уравнений математической физики привлекают к себе всё большее внимание широкого круга исследователей в различных областях естествознания. Свидетельством тому является относительное увеличение числа журнальных публикаций по этой тематике и значительный рост числа монографий за последние 15—20 лет. Во многих из этих монографий затронут и метод, указанный в названии данной книги, но изложение этого метода носит несколько фрагментарный характер и мало затрагивает вопросы обоснования асимптотики. Тем не менее за последние 5—10 лет сложился единый подход к одному классу задач с малым параметром, которые часто встречаются в самых различных областях и названы здесь бисингулярными. Определение этих задач дано ниже, во введении к книге.

Указанный подход является одним из вариантов согласования различных асимптотических разложений решений краевых задач. Он описан только в журнальной литературе, причём первые публикации методически, естественно, далеко не самые удачные. Поэтому цель книги — подвести некоторый итог проведённым исследованиям и ознакомить с методом специалистов в разных областях. Изложение построено по индуктивному принципу и состоит в последовательном изучении примеров. Как правило, последующие примеры сложнее предыдущих.

Довольно широкое распространение получила мысль о том, что асимптотическое исследование состоит из двух частей. Первая часть — это построение асимптотики. Для этого надо определить вид, в котором следует искать формальное асимптотическое разложение решения (или формальное асимптотическое решение; оно ещё имеет другие названия и сокращения: Ansatz, ФАР, фарк, ф. а. р.). Далее следует указать способ построения этого ф. а. р.

Вторая часть состоит в обосновании построенной асимптотики, т. е. в доказательстве того, что построенное ф. а. р. действительно является асимптотическим разложением решения поставленной задачи. При этом устанавливается оценка разности между истинным решением и частичными суммами ф. а. р.

Какая из частей самая трудная — это зависит от конкретной задачи. Иногда одна из частей является тривиальной, а другая требует больших усилий, иногда трудности распределены между ними более равномерно. Но несомненно, что первая часть — построение асимптотики — интересует специалистов разного профиля: механиков, физиков, инженеров и вообще всех, кому приходится встречаться с большими или малыми параметрами в задачах. А вторая часть интересна преимущественно узкому кругу математиков.

С учётом этого обстоятельства здесь сделана попытка удовлетворить обе категории потенциальных читателей. Построение асимптотики рассматриваемых задач, по возможности не отягощённое несущественными подробностями, даётся в основном тексте. А всё, что требуется лишь для обоснования асимптотики, напечатано мелким шрифтом. Так что тем, кто хочет ознакомиться только с методами построения асимптотических разложений решений бисингулярных задач, достаточно читать лишь основной текст. Вместе с тем в полном тексте, включающем и петит, содержится строгое математическое обоснование построенных асимптотик, которое ранее можно было найти только в периодической литературе. Эта попытка поймать в одной книге двух зайцев представляется мне оправданной. Удалась ли она или получит ещё одно подтверждение известная пословица — об этом судить читателю. Spero meliora.

Многое из помещённого в книге было прочитано в спецкурсах в Башкирском государственном университете. Большая часть материала опирается лишь на знания студентов третьего курса университета, а первые две главы — даже на знания студентов второго курса университета и студентов технических вузов. Литературные ссылки в тексте сведены к минимуму и относятся преимущественно к обоснованию асимптотики. Все упоминания об источниках и статьях, которые близки к рассматриваемой теме, вынесены в конец книги.

Все результаты, изложенные в книге, за исключением гл. I, которая носит вспомогательный, учебный характер, получены группой уральских математиков, работающих в Уфе и Свердловске. Пользуюсь случаем поблагодарить сотрудников и учеников, чьи исследования и обсуждения результатов в значительной степени способствовали появлению этой книги. Непосредственно при написании книги большую помощь в работе над гл. IV оказали Е. Ф. Леликова и Ю. 3. Шайгарданов, а в работе над гл. V — Л. А. Калякин. Большую работу при оформлении рукописи провели Т. Н. Нестерова и О. Б. Соколова. Всем им я выражаю свою глубокую признательность.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книги на ту же тему

1. Асимптотика: Интегралы и ряды, Федорюк М. В., 1987
2. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений, Богаевский В. Н., Повзнер А. Я., 1987
3. Асимптотика и специальные функции, Олвер Ф., 1990
4. Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики), Панченков А. Н., ред., 1984
5. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ), Хединг Д., 1965
6. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Федорюк М. В., 1983
7. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Вазов В., 1968
8. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 3-е изд., испр. и доп., Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., 1963
9. Асимптотические методы нелинейной механики, Моисеев Н. Н., 1969
10. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Крейн С. Г., 1967
11. Интегральные уравнения. — 2-е изд., испр., Привалов И. И., 1937
12. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах, Рвачев В. Л., Слесаренко А. П., 1976
13. Методы Монте-Карло в краевых задачах, Сабельфельд К. К., 1989
14. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учебное пособие, Дмитриев В. И., Захаров Е. В., 1987
15. Численные методы решения задач со свободной границей, Вабищевич П. Н., 1987
16. Метод сингулярных интегральных уравнений, Джураев А. Д., 1987
17. Метод фиктивных областей в задачах математической физики, Вабищевич П. Н., 1991
18. Математические методы в теории пограничного слоя, Олейник О. А., Самохин В. Н., 1997
19. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Марченко В. А., Хруслов Е. Я., 1974
20. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. — 2-е изд., перераб., Мусхелишвили Н. И., 1962
21. Уравнения математической физики. — 4-е изд., испр., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 1972
22. Лекции об уравнениях с частными производными. — 3-е изд., доп., Петровский И. Г., 1961
23. Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
24. Уравнения математической физики. — 2-е изд., перераб. и доп., Владимиров В. С., 1971
25. Уравнения математической физики. — 7-е изд., Тихонов А. Н., Самарский А. А., 2004
26. Уравнения математической физики, Бицадзе А. В., 1976
27. Уравнения с частными производными, Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., 1966
28. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов, Голоскоков Д. П., 2004
29. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности, Галицын А. С., Жуковский А. Н., 1976
30. Механика сплошной среды. — 2-е изд., перераб. и доп., Ильюшин А. А., 1978
31. Механика сплошной среды. — 2-е изд., испр. и доп. В 2-х томах (комплект из 2 книг), Седов Л. И., 1973