Первые три главы книги представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой «наивной» точки зрения. В главах 4—6 даётся изложение основных топологических фактов, касающихся метрических и топологических пространств. Особое внимание при этом обращается на метризационные теоремы и понятия компактности (бикомпактности) и паракомпактности.

Книга является учебным пособием для студентов физико-математических факультетов университетов. Она может быть использована также аспирантами различных специальностей, нуждающимися в теории множеств и топологии.

Книгу можно рассматривать как введение в современные разделы общей топологии.

Илл. 12, библ. 39

Эта книга была задумана как второе издание моей книги «Введение в общую теорию множеств и функций», изданной в 1948 г. Однако вскоре же после начала работы над этим вторым изданием мне стало ясно, что речь фактически идёт о написании новой книги, а не о новом издании уже написанной; и действительно, из старой книги в новую были перенесены без существенных изменений лишь первые три главы. В переработанном виде материал шестой и седьмой глав старой книги был частично взят мною в пятую главу новой книги. Составляющие основную часть новой книги главы четвёртая и шестая написаны заново, лишь с небольшими заимствованиями из Прибавлений к двум последним главам старой книги. Однако сохранился и общий её дух, состоящий в элементарном и — как я надеюсь — логически тщательном изложении рассуждений: формулировок к доказательств, и пронизывающий всю книгу так называемый «наивный» подход к основным понятиям теории множеств, непревзойдённым образом воплощённый в классической книге Ф. Хаусдорфа «Теория множеств».

Как мне кажется, предлагаемая вниманию читателя книга в её теперешнем виде может служить руководством для первого ознакомления с общей топологией, т. е. с теорией топологических пространств, с обращением особого внимания на их важнейший частный случай — метризуемые пространства. Отсюда следует и специальное внимание уделяемое нами проблеме метризации топологических пространств. С другой стороны, чрезвычайно большое место в книге занимают пространства, обладающие тем или иным свойством «типа компактности», т. е. прежде всего бикомпактные (и локально бикомпактные), а также паракомпактные пространства. Эти последние тесным образом связаны с общей проблемой метризации. Если прибавить, что вполне регулярные, или тихоновские, пространства суть не что иное, как подпространства бикомпактов, то станет ясным, что выделение, с одной стороны, метризуемых пространств, а с другой стороны, пространств, удовлетворяющих условиям типа компактности, даёт нам доступ практически ко всем важнейшим типам топологических пространств, что и объясняет название основной и завершающей шестой главы нашей книги.

При этом я хотел бы настойчиво обратить внимание на то, что Прибавление к книге составляет её неотъемлемую часть. Оно написано В. И. Зайцевым и посвящено кругу тесно связанных между собой вопросов, которые я причисляю к важнейшим среди разрабатывавшихся в общей топологии за последнюю четверть века, а именно теории обратных (в частности и в особенности проекционных) спектров и теории абсолютов и неприводимых совершенных отображений топологических пространств. Основы первой теории заложены в работах П. С. Александрова и А. Г. Куроша и получили новое и очень интересное развитие в работах В. И. Зайцева. Вторая теория восходит к работам Глисона (Gleason) и ещё даже М. Стоуна (М. Н. Stone), но своё полное развитие получила лишь в работах В. И. Пономарева, в которых, в частности, и была осуществлена связь теории абсолютов и теории проекционных спектров. Кроме Прибавления В. И. Зайцев написал и § 5 гл. 6, в котором он излагает данную им внутреннюю характеристику тихоновских пространств.

Участие В. И. Зайцева в работе над моей книгой настолько велико, что я считал необходимым отметить его особо. Это относится и к В. В. Федорчуку, который не только тщательно отредактировал всю книгу, но и внёс едва ли не во все её параграфы улучшения, часто очень существенные. Я могу прямо сказать, что без участия В. В. Федорчука книга в её настоящем виде вообще не была бы написана. В работе над этой книгой В. В. Федорчук был существенно поддержан своим учеником А. В. Ивановым. Названным моим дорогим ученикам и коллегам я выражаю искреннюю и сердечную благодарность.

Гильберт часто сравнивал математику с волшебным, чарующим садом. В этот сад ведут многие различные входы. Одним из них является и теоретико-множественная топология. Моя книга в первую очередь обращена к избравшим именно этот вход молодым, начинающим математикам. Найдя, как я надеюсь, уже в самом начале пути много прекрасного, они дальше смогут пойти различными дорогами и прийти в такие углублённые части сада, что у входа нельзя было предвидеть самого их существования.

ПРЕДИСЛОВИЕ
П. Александров
Москва. Июнь, 1976 г.

Книги на ту же тему

1. Первые понятия топологии: Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов, Стинрод Н., Чинн У., 1967
2. Общая топология, Келли Д. Л., 1968
3. Дифференциальная топология: Начальный курс, Милнор Д., Уоллес А., 1972
4. Лекции по дополнительным главам математического анализа, Соболев В. И., 1968
5. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд., Натансон И. П., 1974
6. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения, Успенский В. А., Семёнов А. Л., 1987
7. Введение в математическую логику, Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г., 1982
8. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, Лавров И. А., Максимова Л. Л., 1975
9. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, Макаров И. П., 1968
10. Наглядная геометрия. — 3-е изд., Гильберт Д., Кон-Фоссен С., 1981
11. Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., 1976
12. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов, Новиков С. П., Фоменко А. Т., 1987
13. Дифференциальная геометрия. — 5-е изд., Погорелов А. В., 1969
14. Топологические векторные пространства, Шефер X., 1971
15. Введение в теорию римановых поверхностей, Спрингер Д., 1960
16. Топологические вариационные задачи, Фоменко А. Т., 1984
17. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
18. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
19. Современная математика, Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., 1966
20. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (Сборник статей), Болсинов А. В., Фоменко А. Т., Шафаревич А. И., ред., 1998
21. Гравитация и относительность, Цзю Х., Гоффман В., ред., 1965
22. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Козлов В. В., 1995
23. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций, Кадич А., Эделен Д., 1987
24. Квантовая теория поля и топология, Шварц А. С., 1989
25. Теория множеств и метод форсинга, Йех Т., 1973
26. Основания теории множеств, Бар-Хиллел И., Френкель А. А., 1966
27. Линейно упорядоченные группы, Кокорин А. И., Копытов В. М., 1972
28. Современная теория множеств: начала дескриптивной динамики, Кановей В. Г. , Любецкий В. А., 2007
29. Теория Морса, Милнор Д., 2011
30. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау, Фам Ф., 1970
31. Химические приложения топологии и теории графов, Кинг Р., ред., 1987