Книга известного американского математика, дающая обстоятельный обзор одного из современных направлений на стыке геометрии и дифференциальных уравнений. Цель автора — обучить читателя практически пользоваться аппаратом теории групп Ли. Примеры и содержательные приложения занимают в книге больше места, чем общая теория; они взяты из классической механики, гидродинамики, теории упругости и других прикладных областей. Для чтения книги достаточно основ анализа и алгебры: все необходимые сведения из геометрии многообразий содержатся в самой книге.

Для математиков-прикладников, механиков, физиков, аспирантов и студентов университетов.

Серия университетских учебников, выпускаемых издательством «Шпрингер», пополнилась недавно книгой П. Олвера, перевод которой предлагается читателю. По мнению специалистов, книга вышла удачной. Следя за развитием сюжета, читатель шаг за шагом продвигается к пониманию современного состояния и проблематики «науки о симметриях». Много внимания уделяется мотивировкам определений и истории.

Книга ориентирована на приложения, и параллельно с развитием общей теории разбирается большое число конкретных примеров применений симметрии, включая такие, как интегрирование в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений и построение автомодельных и инвариантных относительно группы решений уравнений с частными производными.

Возрождение интереса к малоизвестным работам классиков: Ж. Лиувилля, С. Ли, Э. Нётер и современное развитие теории поставили задачу тщательного сопоставления классической и современной точек зрения на основные вопросы, связанные с алгебраическим подходом к локальной теории уравнений с частными производными. Решение этой трудной задачи является одним из основных достоинств книги. К сожалению, вне рассмотрения остались классическая теория контактных преобразований и ряд современных приложений неклассических симметрии.

В целом книга Олвера будет очень полезна и студентам, и преподавателям.

В русское издание внесены исправления и добавления, любезно присланные автором; в нём также несколько изменено содержание § 5.1 и добавлены два приложения к гл. 5 и 6.

От редактора перевода
А. Б. Шабат

Перевод моей книги о симметриях и дифференциальных уравнениях на русский язык я рассматриваю как большую честь, тем более что в советской математике имеются давние традиции в этой важной области. Цитирования и исторические замечания, сделанные в тексте, с очевидностью показывают, что советские математики играли ключевую роль в развитии и приложениях теории групп к дифференциальным уравнениям.

Эта книга явилась последней, принятой к переводу заведующим математической редакцией профессором Б. В. Шабатом, неожиданная смерть которого явилась огромной потерей для всего математического сообщества. Мне хотелось бы выразить благодарность его сыну профессору А. Б. Шабату, научное редактирование и ряд ценных предложений которого позволили существенно улучшить книгу в русском издании.

Я надеюсь, что эта монография будет ещё более способствовать развитию в Советском Союзе исследований по теории групп Ли, дифференциальным уравнениям и их приложениям к физике, инженерным наукам и т. д. и явится катализатором для ещё более тесного сотрудничества между советскими и западными математиками в этой области.

Предисловие к русскому изданию
Питер Олвер
Москва, май 1989

Книги на ту же тему

1. Групповой анализ дифференциальных уравнений, Овсянников Л. В., 1978
2. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли, Поммаре Ж., 1983
3. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля, Владимиров С. А., 1979
4. Истина и красота: Всемирная история симметрии, Стюарт И., 2012
5. Математические методы классической механики, Арнольд В. И., 1974
6. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип., Кострикин А. И., 2001
7. Теория групп и её применение к физическим проблемам, Багавантам С., Венкатарайуду Т., 1959
8. Методы математической физики и специальные функции. — 2-е изд., переработ, и доп., Арсенин В. Я., 1984
9. Качественная теория дифференциальных уравнений, Немыцкий В. В., Степанов В. В., 1947
10. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Крейн С. Г., 1967
11. Симметрические пространства, Лоос О., 1985
12. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы, Фоменко А. Т., 1983
13. Геометрическая теория инвариантов, Дьёдонне Ж., Керрол Д., Мамфорд Д., 1974
14. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений, Ортега Д., Пул У., 1986